Формулы сокращенного умножения

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Уравнение f(x) = 0 называют рациональным, если f(x) является рациональным выражением. При решении рациональных уравнений, содержащих дроби и многочлены, требуется уметь их правильно преобразовывать. Приведя рациональное дробное уравнение к одной дроби, находят корни числителя (приравняв его к нулю), после чего проверяют корни на то, что они не обращают в нуль знаменатель.

Пусть дано такое рациональное уравнение:

Пример рационального уравнения

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю. Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Тождество — это равенство, которое остается верным при любых допустимых значениях переменных.

Тождественно равные выражения — это такие выражения, которые можно приравнять друг к другу.

Примерами тождеств являются равенства, описывающие законы арифметики:

a + b = b + a, ab = ba и другие.

Другие примеры — формулы сокращенного умножения: квадратов суммы и разности, суммы и разности квадратов и другие.

Тождественным преобразованием называется замена одного выражения на тождественно равное ему другое выражение.

В общем случае тождественными преобразованиями являются:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Сумма кубов представляет собой такое выражение:

a3 + b3

Можно ли представить эту сумму в качестве каких-либо множителей?

Вспомним формулу куба суммы:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Перенесем слагаемые с коэффициентом 3 в левую часть, получим:

(a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

Преобразуем левую часть тождества:

(a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)(a + b)2 – 3ab(a + b) = (a + b) ((a + b)2 – 3ab) = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Куб суммы двух выражений равен сумме кубов этих выражений, сложенной с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе и утроенным произведением квадрата второго выражения на первое.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Здесь (a + b)3 — куб суммы, a3 + b3 — сумма кубов, 3a2b — утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, 3ab2 — утроенное произведение квадрата второго выражения на первое.

Вывести эту формулу можно путем умножения многочленов:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Если мы посмотрим на выражение 0,25x2 + 2xy + y2, то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x2 = (0,5x)2, a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)2, то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x2 + 2xy + 4y2.

Он отличается от того, что нам дан на 3y2 в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x2 + 2xy + y2 = 0,25x2 + 2xy + 4y2 – 3y2

Чтобы не выполнять никакие сложения и вычитания, можно просто прибавить новый одночлен и потом его же вычесть:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение этих выражений. Формула квадрата суммы записывается так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Здесь (a + b)2 — квадрат суммы, a2 + b2 — сумма квадратов, 2ab — удвоенное произведение выражений.

Эту формула выводится из умножения многочлена на многочлен:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение этих выражений. Формула квадрата суммы записывается так:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Подписаться на Формулы сокращенного умножения