Теория чисел

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Счетными являются бесконечные множества, которые эквивалентны множеству натуральных чисел. Эквивалентность означает равную мощность множеств, что можно сравнить с одинаковым количеством элементов, однако в бесконечных множествах количество элементов бесконечно.

Если множество счетно, то каждому его элементу можно поставить в соответствие натуральное число. Каждому элементу можно сопоставить только одно натуральное число, и у каждого натурального числа может быть только один сопоставленный ему элемент. То есть устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

В конечных множествах всегда есть наибольший и наименьший элемент. В бесконечных множествах такое тоже может быть, однако в бесконечных множествах может и не быть наибольшего и наименьшего элемента или какого-то одного из них.

Множество всех действительных чисел не ограничено ни с какой стороны, оно не имеет ни наименьшего, ни наибольшего. Множество действительных чисел от 0 до 1, ограничено, но также бесконечно, так как количество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 бесконечно.

Множество натуральных чисел бесконечно, но ограничено наименьшим элементом — единицей. Оно не имеет наибольшего элемента, так как для каждого натурального числа n найдется n + 1.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Понятия «замкнутое множество» и «незамкнутое множество» обычно используют относительно множеств чисел и операций над ними.

Если над двумя элементами одного множества выполняется какая-либо арифметическая операция, и полученный результат также принадлежит этому множеству, то говорится, что это множество замкнуто относительно данной операции.

Если же результат арифметической операции над элементами множества не принадлежит этому множеству, то говорят, что данное множество незамкнуто относительно данной операции.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Действительные числа (или вещественные числа) — это самое «широкое» множество чисел в математике. Все остальные числовые множества являются его подмножествами. Действительные числа обозначаются буквой R. Выделяют следующие числовые множества:

  • R+ - положительные действительные числа;
  • R- - отрицательные действительные числа;
  • Q — рациональные числа (дробные числа);
  • Z — целые числа
  • N0 — неотрицательные целые числа;
  • N — натуральные числа;
  • различные числовые промежутки.

Помимо приведенных числовых множеств есть и другие. Например, иррациональные числа.

Тема: Натуральные числа
8 класс

Одним из свойств простых чисел является утверждение, что множество простых чисел бесконечно (т. е. среди простых чисел нет наибольшего).

Подписаться на Теория чисел