Многочлены и одночлены

Тема: Алгебраические выражения
7 класс

Если одночлены состоят из одинаковых переменных в одинаковых степенях, то они являются подобными. Коэффициенты одночленов при этом могут различаться. Примеры подобных одночленов:
3a2 и –4a2;      31 и 45;      a2bx4 и 1,4a2bx4;      100y3 и 100y3

Но одночлены –6ab2 и 6ab не являются подобными, так как у них переменная b находится в разных степенях.

Тема: Алгебраические выражения
7 класс

Одночлен — это выражение, состоящее из произведения чисел и букв (переменных), при этом переменные могут быть степенями с натуральными показателями. Обратите внимание, что одночлен содержит только одну арифметическую операцию — умножение (степень также может быть представлена, как произведение). Одночлен не может содержать сложения, вычитания, деления и других операций.

Однако, если выражение состоит всего лишь из одного числа или одной переменной — это тоже одночлен, так как такое число или переменную всегда можно представить как произведение его самого и единицы.

Тема: Уравнения и неравенства
8 класс

Существуют несколько путей (способов) решения уравнений с переменной в знаменателе дроби.

Один из способов заключается в том, что в левую часть переносятся все члены уравнения, с правой остается 0. Далее все члены уравнения приводятся к общему знаменателю. Дробь может равняться нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, надо решить уравнение, в котором есть только числитель, дроби приравненный к нулю. Вычислив таким образом корни уравнения, надо подставить их в знаменатель и проверить, не обращают ли они его в нуль. Те корни числителя, которые не обращают в нуль знаменатель, являются корнями исходного уравнения.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Если говорить о симметрическом многочлене от двух переменных, то можно сказать следующее. Если в многочлене поменять местами переменные, то получится тождественное многочлену выражение. Например, многочлены a + b и b + a симметрические, а также xy = yx или x2y + xy2 = y2x + yx2.

Если говорить вообще, то симметрический многочлен — это такой многочлен, который не изменяется при любых перестановках, входящий в него переменных.

Симметрический многочлен можно записать так:

P(x, y) = P(y, x)

Как можно заметить симметрические многочлены состоят из суммы и произведения.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Тождество — это равенство, которое остается верным при любых допустимых значениях переменных.

Тождественно равные выражения — это такие выражения, которые можно приравнять друг к другу.

Примерами тождеств являются равенства, описывающие законы арифметики:

a + b = b + a, ab = ba и другие.

Другие примеры — формулы сокращенного умножения: квадратов суммы и разности, суммы и разности квадратов и другие.

Тождественным преобразованием называется замена одного выражения на тождественно равное ему другое выражение.

В общем случае тождественными преобразованиями являются:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Сумма кубов представляет собой такое выражение:

a3 + b3

Можно ли представить эту сумму в качестве каких-либо множителей?

Вспомним формулу куба суммы:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Перенесем слагаемые с коэффициентом 3 в левую часть, получим:

(a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

Преобразуем левую часть тождества:

(a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)(a + b)2 – 3ab(a + b) = (a + b) ((a + b)2 – 3ab) = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Куб суммы двух выражений равен сумме кубов этих выражений, сложенной с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе и утроенным произведением квадрата второго выражения на первое.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Здесь (a + b)3 — куб суммы, a3 + b3 — сумма кубов, 3a2b — утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, 3ab2 — утроенное произведение квадрата второго выражения на первое.

Вывести эту формулу можно путем умножения многочленов:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Если мы посмотрим на выражение 0,25x2 + 2xy + y2, то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x2 = (0,5x)2, a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)2, то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x2 + 2xy + 4y2.

Он отличается от того, что нам дан на 3y2 в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x2 + 2xy + y2 = 0,25x2 + 2xy + 4y2 – 3y2

Чтобы не выполнять никакие сложения и вычитания, можно просто прибавить новый одночлен и потом его же вычесть:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение этих выражений. Формула квадрата суммы записывается так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Здесь (a + b)2 — квадрат суммы, a2 + b2 — сумма квадратов, 2ab — удвоенное произведение выражений.

Эту формула выводится из умножения многочлена на многочлен:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение этих выражений. Формула квадрата суммы записывается так:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Допустим, требуется умножить сумму a + b на сумму c + d. Представим сумму c + d как некое число m, тогда получим умножение многочлена на одночлен, которое выполняется по правилу распределительного закона: нужно умножить каждый член многочлена на одночлен, а полученные произведения сложить.

(a + b)m = am + bm

Теперь вернем вместо m сумму c + d:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

Получилась сумма произведений одночлена на многочлен. Выполним умножение:

a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Таким образом получилось, что для получения произведения двух многочленов надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

В многочленах вынесение общего множителя за скобки может упростить решение уравнения, сократить дробь, привести дроби к общему знаменателю.

Например, дано такое уравнение:

x2 + 9x = 0

Вынесем x за скобку:

x(x + 9) = 0

Ясно, что это уравнение может иметь только два корня x = 0 и x = –9. Только при таких значениях x все левое выражение может быть равно нулю.

Таким образом вынесение общего множителя позволило нам не решать квадратное уравнение.

Вообще за скобки выносится общая переменная многочленов с наименьшим показателем, с которым она входит в какой-либо член. Например:

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Существует распределительное свойство умножения, которое записывается так:

(a + b)c = ac + bc

Словами сформулировать это можно так: чтобы умножить сумму на число, надо умножить на число каждое слагаемое, после чего сложить полученные произведения.

Пусть a + b — это многочлен, а c — одночлен, тогда умножение многочлена на одночлен сводится к тому же правилу распределительного закона: чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на одночлен каждый член многочлена и сложить полученные произведения.

Кроме того, чтобы завершить умножение, надо привести полученный многочлен к стандартному виду.

Пример:

(3a2 + 2b3 – 4ac) * abc = 3a3bc + 2ab4c – 4a2bc2

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Многочлен считается приведенным к стандартному виду тогда, когда все составляющие его одночлены приведены к стандартному виду, а также приведены все подобные члены, то есть в многочлене нет подобных членов.

Например, следующий многочлен не приведен к стандартному виду:

4a * ab2 + 8c – a2b3 – 3c

У него первый одночлен не приведен к своему стандартному виду, а также есть подобные. Исправив эти недочеты, получим:

4a2b2 – a2b3 + 5c

Теперь многочлен приведен к стандартному виду.

Однако есть еще правило: если в многочлен входит только одна переменная, то одночлены располагают в порядке убывания ее степеней. Сравните:

a3 – 4a + 3 и 3 – 4a + a3

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Как известно наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее общее число, на которое можно нацело разделить оба данных числа. Например, НОД(30; 12) = 6, так как 6 это максимальное число, на которое можно разделить и 12, и 30.

Похоже дело обстоит с одночленами. НОД двух одночленов — это наибольший одночлен, на который можно разделить оба данных одночлена. Однако что значит, наибольший одночлен? Чем из большего числа множителей, которые находятся в как можно большей степени состоит одночлен, тем он больше. Пусть даны два таких одночлена:

10a3b4c2 и 18b2c3d3.

Их НОДом будет такой одночлен:

b2c2.

Подписаться на Многочлены и одночлены