Действительные числа

Тема: Действительные числа
8 класс

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью. Погрешность приближения представляет собой взятую по модулю разность между точным значением числа и его приближенным значением.

Тема: Действительные числа
8 класс

Проводя различные измерения, решая уравнения графическим способом, выполняя арифметические вычисления, часто получают приближенные значения, а не точные. Например, при вычислении корня числа может получиться бесконечная непериодическая дробь (т. е. иррациональное число). Кроме того, существуют бесконечные периодические дроби, использовать которые в вычислениях также неудобно.

Поэтому числа, являющиеся бесконечными десятичными дробями или конечными, но имеющими множество знаков после запятой, принято округлять.

Когда округление выполняется в большую сторону, то говорят о приближении по избытку. Когда округление выполняется в меньшую сторону, то говорят о приближении по недостатку.

Тема: Действительные числа
8 класс

Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Модуль всегда неотрицателен. Это значит, что он может быть равен либо положительному числу, либо нулю.

Таким образом, если дается положительное число или ноль, то их модуль будет равен им самим. А вот для отрицательного числа, его модуль будет иметь противоположное значение, т. е. являться противоположным числом. Так

|–3| = 3,
|–1,345| = 1,345.

Если представить числовую прямую (координатную прямую), то можно сказать, что на том расстоянии, на котором от нуля находится отрицательное число в одну сторону, на том же расстоянии от нуля находится его модуль, но в другую сторону.

Тема: Действительные числа
8 класс

Действительные числа (R) включают в себя все рациональные и иррациональные числа. По-другому, действительные числа называются вещественными числами.

При сравнении действительных чисел можно руководствоваться таким правилом:

Если разность чисел a и b, где a — уменьшаемое, а b — вычитаемое, дает положительное число, то это значит, что a > b. Если же в результате получается отрицательное число, то a < b.

Например, сравним числа –5 и –7. Вычтем из первого второе:
–5 – (–7) = –5 + 7 = 2

Поскольку получилось положительное число, то значит первое число больше второго, т. е. –5 > –7.

Сравним числа 2,31 и 3,14... :
2,31 – 3,14... = –0,83...

Тема: Действительные числа
8 класс

Все рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби. Это касается и целых чисел (например, 12, –6, 0), и конечных десятичных дробей (например, 0,5; –3,8921) , и бесконечных периодических десятичных дробей (например, 0,11(23); –3,(87)).

Тема: Действительные числа
8 класс

Пусть x – это искомая обыкновенная дробь для периодической десятичной дроби 0,(83), т. е.

x = 0,(83) или
x = 0,83(83)

Длина периода дроби равна двум. Умножим обе части уравнения на 100, чтобы период дроби был представлен и целым числом также:

100x = 83,(83) или
100x = 83 + 0,(83)

Поскольку x = 0,(83), то можно записать

100x = 83 + x

Решим данное уравнение:

100x – x = 83
99x = 83
x = 83/99

Таким образом периодическая дробь 0,(83) в десятичном представлении имеет значение 83/99.

Если дробь является смешанной, например, 0,91(6), то алгоритм перевода ее в десятичную дробь немного иной.

Тема: Действительные числа
8 класс

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

1) |a + b| ≤ |a| + |b|;

2) |ab| = |a| × |b|;

3) , a ≠ 0;

4) |a – b| ≥ |a| – |b|.

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b.

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b. Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b|.

Тема: Действительные числа
8 класс

Доказательство ведут от противного.

Предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)2 = 2. При этом эта дробь несократима (т. е. все сокращения уже выполнены).

Запишем уравнение так: p2 / q2 = 2.

Умножим обе части уравнений на q2, получим: p2 = 2q2.

Выражение 2q2 в любом случае должно быть четным, т. к. выполняется умножение на 2.

Значит, p2 тоже четно.

Подписаться на Действительные числа