Теория множеств

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Счетными являются бесконечные множества, которые эквивалентны множеству натуральных чисел. Эквивалентность означает равную мощность множеств, что можно сравнить с одинаковым количеством элементов, однако в бесконечных множествах количество элементов бесконечно.

Если множество счетно, то каждому его элементу можно поставить в соответствие натуральное число. Каждому элементу можно сопоставить только одно натуральное число, и у каждого натурального числа может быть только один сопоставленный ему элемент. То есть устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

В конечных множествах всегда есть наибольший и наименьший элемент. В бесконечных множествах такое тоже может быть, однако в бесконечных множествах может и не быть наибольшего и наименьшего элемента или какого-то одного из них.

Множество всех действительных чисел не ограничено ни с какой стороны, оно не имеет ни наименьшего, ни наибольшего. Множество действительных чисел от 0 до 1, ограничено, но также бесконечно, так как количество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 бесконечно.

Множество натуральных чисел бесконечно, но ограничено наименьшим элементом — единицей. Оно не имеет наибольшего элемента, так как для каждого натурального числа n найдется n + 1.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Понятия «замкнутое множество» и «незамкнутое множество» обычно используют относительно множеств чисел и операций над ними.

Если над двумя элементами одного множества выполняется какая-либо арифметическая операция, и полученный результат также принадлежит этому множеству, то говорится, что это множество замкнуто относительно данной операции.

Если же результат арифметической операции над элементами множества не принадлежит этому множеству, то говорят, что данное множество незамкнуто относительно данной операции.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Действительные числа (или вещественные числа) — это самое «широкое» множество чисел в математике. Все остальные числовые множества являются его подмножествами. Действительные числа обозначаются буквой R. Выделяют следующие числовые множества:

  • R+ - положительные действительные числа;
  • R- - отрицательные действительные числа;
  • Q — рациональные числа (дробные числа);
  • Z — целые числа
  • N0 — неотрицательные целые числа;
  • N — натуральные числа;
  • различные числовые промежутки.

Помимо приведенных числовых множеств есть и другие. Например, иррациональные числа.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Объекты (например, числа), входящие в определенное множество, являются элементами этого множества. Например, числа 10 и 14 являются элементами множества натуральных чисел. Классы являются элементами множества всех классов школы. А вот, например, число –5 не является элементом множества натуральных чисел. Также как класс из соседней школы, не будет элементом множества классов вашей школы.

Чаще всего множества обозначают прописными латинскими буквами (A, B и т. д.), а элементы множеств могут обозначать строчными (a, b, c и т. д.), но обычно их просто перечисляют или указывают промежутки.

Примеры множеств:
A = {a, b, c, d, z, x}
B = {2, 6, –4, 15}
C = {Вася, Петя, Маша, Саша}
D = {x | 0 < x < 1, x ∈ R}

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Если множества конечные, то сравнить их по количеству элементов просто, достаточно посчитать элементы в каждом множестве и сравнить полученные значения.

Однако если множества даже конечные, но в них слишком много элементов, то подобный подход не слишком эффективен. Есть другой способ. Надо поставить в соответствие элементам одного множества элементы другого. Если при этом каждый найдет себе пару, то эти множества равны по количеству элементов. Если это окажется не так, то большим будет то множество, где останутся элементы, которым не были сопоставлены элементы из другого множества.

Например, если раздать тетради по математике ученикам класса, то можно сразу узнать, все ли в классе или кто-то отсутствует.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Бывают множества, в которых существует тот или иной порядок следования элементов. Например, множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию. Это значит, что меньший элемент стоит перед большим (a < b).

Если во множестве существует какое-либо правило, в результате действия которого элементы располагаются не произвольно, а по-порядку, то говорят, что во множестве существует отношение порядка.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Если каждому элементу из множества A сопоставлен в соответствие определенный элемент из множества B, то возникает множество, составленное из пар элементов множеств A и B, - декартово произведение множеств.

Записывают декартово произведение множеств так:

A × B = {(a; b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Это значит, что если например дано множество A = {1,2,3} и множество B = {15,25}, то их декартово произведение будет состоять из пар:

A × B = {(1;15), (1;25), (2;15), (2;25), (3;15), (3;25)}

Если во множестве A количество элементов равно m, а во множестве B — n, то их декартово произведение будет состоять из m×n элементов.

Следует иметь в виду что A×B и B×A разные множества, так как пары типа (a; b) отличаются от пар тип (b; a).

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Пересечением двух множеств, называется третье множество, сформированное из элементов, которые входят в оба первых множества.

Например, если в одно множество входят числа от 1 до 10, а во второе — от 5 до 20, то пересечением этих множеств будут числа от 5 до 10, так как они входят в оба.

Пересечение множеств записывается так:

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}

На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств обозначается общей частью кругов.

Множества могут не пересекаться вообще, одно может полностью включать другое.

Пересечение множеств может использоваться тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Во многих множествах можно выделить более мелкие группы элементов, объединенные своим общим свойством. Например, во множестве натуральных чисел можно выделить подмножество четных чисел, а также подмножество нечетных чисел, или подмножество чисел не больше 100 и т. п.

В терминологии теории множеств говорят, что множество B является подмножеством множества A, если каждый элемент B является в то же время и элементом множества A. Обозначается это знаком включения: B ⊂ A.

Из подмножества какого-либо множества можно выделить свое подмножество. Например, среди учеников класса можно выделить подмножество девочек, а среди девочек выделить отличниц. Тогда можно записать так:

C ⊂ B ⊂ A.

Это значит, что множество C включено в B, а B включено в A.

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Множества бывают конечными и бесконечными. Например, множество всех школ города конечно, а множество вещественных чисел бесконечно.

Конечные множества можно задать перечислением элементов. Например, множество учеников класса записать в журнале. С бесконечными множествами так сделать уже нельзя.

Однако, чтобы задать множество, не обязательно перечислять его элементы. Можно указать свойство, на основе которого элементы объединены во множество. Так можно задавать как бесконечные, так и конечные множества. Признак, на основе которого элементы объединяются во множество, называется характеристическим свойством множества.

Общая формула записи множества в таком случае выглядит так:

A = {x | P(x)}

Тема: Множества и комбинаторика
8 класс

Совокупность предметов, понятий, каких-либо объектов, объединенных чем-то общим, в математике называют словом множество.

Примеры множеств: ученики класса, все люди на Земле, множество натуральных чисел, множество точек, лежащих в первой четверти координатной плоскости, множество кругов с радиусом от 1 до 10 см. Конкретное множество можно представить как единое целое.

Свести понятие множества к более простым понятиям нельзя, то есть нельзя определить его через другие понятия. Оно является одним из ключевых понятий математики наряду с понятиями точки и прямой.

Множествами занимается раздел математики теория множеств.

Подписаться на Теория множеств