Угол

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
5 класс

Транспортиром пользуются для измерения углов.

Транспортир

Условно выделим в транспортире две части - «линейку», называемую также прямолинейной шкалой (нижняя часть на рисунке), и полукруга, называемого также угломерной шкалой. На полукруге находятся метки градусов от 0° до 180°. Назовем разделение на градусы «градусной сеткой».

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются прямой c. То есть прямая c является секущей для прямых a и b. При этом образуются две пары накрест лежащих углов. Если в любой из этих пар углы равны, то прямые a и b параллельны. На чертеже обозначена одна пара равных между собой накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых
Дано (условие). Равенство накрест лежащих углов.

Следствие (утверждение; то, что требуется доказать). Параллельность прямых.

Тема: Треугольник
8 класс

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.

Примеры пересечения биссектрис треугольника

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180°. На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Примеры углов с соответственно параллельными сторонами

Доказательство, что это действительно так, сводится к следующему.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Существует теорема о том, что прямые параллельны, если при пересечении их секущей накрест лежащие углы оказываются равными. Здесь дано — равные накрест лежащие углы при секущей, следствие — прямые параллельны.

Существует обратная теорема: накрест лежащие углы при секущей равны, если она пересекает параллельные прямые. В данном случае дано — параллельные прямые, следствие — равенство накрест лежащих углов при секущей.

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Обычно в такой задаче дана окружность и точка. Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.

Если местонахождение точки не оговаривается, то следует отдельно оговорить три возможных случая расположения точки.

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам, то есть на два равных угла. Таким образом задачу можно сформулировать так: разделить угол пополам.

Алгоритм построения биссектрисы угла:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

В данной задаче дается некий угол и луч (или прямая). Требуется отложить на данном луче угол, равный данному. Например, на рисунке ниже дан угол A и прямая b. Требуется на прямой b отложить угол, равный углу A.

Угол и прямая

Если дана прямая, а не луч, то вершину нового угла можно выбрать на ней произвольно. Если же дан луч, то вершиной угла считается точка, от которой отложен луч.
Алгоритм построения угла, равного данному, на луче:

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
7 класс

Свойство биссектрисы угла заключается в том, что каждая ее точка равноудалена от сторон угла.

Это свойство можно сформулировать в форме обратной теоремы: все точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от его сторон, лежат на его биссектрисе.

Следует вспомнить, что расстояние от точки до прямой — это отрезок, перпендикулярный к данной прямой, проведенный из данной точки.

Итак, в прямой теореме надо доказать, что если из любой точки, лежащей на биссектрисе, провести перпендикуляры к сторонам угла, то эти перпендикуляры будут равны.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
7 класс

Вертикальные углы образуются, если стороны одного угла продлить за его вершину.

В этом случае получаются две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла. Эти четыре угла попарно вертикальные.

Вертикальные углы находятся друг напротив друга, а рядом лежащие углы являются смежными, так как у них одна сторона общая, а не общие стороны лежат на одной прямой.

Равенство вертикальных углов является следствием определения смежных углов. Смежные углы по определению в сумме составляют 180°.

Возьмем любой угол, образованный двумя пересекающимися прямыми, обозначим его как ∠1 и примем его величину как a.

Тема: Измерение геометрических величин
7 класс

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус — это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
7 класс

Угол своими лучами делит плоскость на две части. Одна находится внутри угла, другая — вне его. Однако, углом можно посчитать границы любой из этих двух плоскостей. Можно сказать по-другому — два луча, исходящие из одной точки образуют два угла: один с одной стороны между двумя лучами, второй — с другой стороны.

В такой неоднозначной ситуации выделяют внутреннюю и внешнюю области угла. Обычно, говоря об угле, имеют в виду угол, образующий его внутреннюю область. Обычно внутренней областью угла считается меньшая из двух, если не оговорено, какая именно область угла рассматривается.

Для развернутого угла понятия внутренней и внешней областей бессмысленны, так как у него эти области равны.

Подписаться на Угол