Окружность

Тема: Многоугольники
8 класс

Около любого правильного многоугольника можно как описать окружность, так и вписать в него окружность. Это будут две разные окружности. Описанная будет иметь больший радиус, а вписанная меньший. Однако их центры будут совпадать. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

При этом у правильного многоугольника может быть только одна вписанная окружность и только одна описанная.

Тема: Многоугольники
8 класс

Выпуклый прямоугольник является правильным, если все его стороны равны между собой и все его углы равны между собой. Многоугольник считается описанным около окружности тогда, когда все его стороны являются касательными к этой окружности.

Существует теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Согласно ей любой правильный многоугольник можно описать около окружности, причем только одной.

Описанные правильные многоугольники

Докажем эту теорему. Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF. Проведем в нем биссектрисы углов A и B. Они не могут быть параллельными, поэтому пересекутся в некой точке. Назовем ее O.

Тема: Многоугольники
8 класс

Правильные многоугольники — это выпуклые многоугольники, у которых все стороны равны, а также равны все его углы. Количество сторон и соответственно количество углов может быть любым (но больше двух). Так равносторонний треугольник и квадрат являются правильными многоугольниками. Далее идут пятиугольник, шестиугольник и т. д.

Правильные многоугольники

Существует теорема о том, что любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, причем только в одну.

Вписанные правильные многоугольники

Тема: Четырехугольник
8 класс

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Вписанные и невписанные четырехугольники
Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180°. Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Описанный около окружности четырехугольник касается ее всеми своими сторонами. То есть каждая из четырех сторон четырехугольника является касательной к данной окружности. Такая окружности называется вписанной в четырехугольник.

Не каждый четырехугольник можно описать около окружности.

Описанные и неописанные четырехугольники
Описанные четырехугольники обладают таким свойством: суммы их противоположных сторон равны. Это значит, что если, около данной окружности описать четырехугольник, например, ABCD, то окажется, что сумма его противоположных сторон AB + СD равна сумме другой пары его противоположных сторон BC + DA.

Тема: Окружность и круг
8 класс

Окружность является описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Такой треугольник называется вписанным в окружность.

Существует теорема о том, что около каждого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Докажем ее.

Тема: Окружность и круг
8 класс

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая касается всех сторон треугольника. То есть стороны треугольника являются касательными к окружности.

Существует теорема о том, что в каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Доказательство данной теоремы сводится к нижеследующему.

Как известно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Перпендикуляры, проведенные из этой точки к сторонам треугольника, равны. (Это следует из равенства треугольников, образованных биссектрисой и двумя перпендикулярами.)

Получается, что на трех сторонах треугольника есть по точке, удаленной от точки пересечения биссектрис, на одно и то же расстояние.

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Обычно в такой задаче дана окружность и точка. Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.

Если местонахождение точки не оговаривается, то следует отдельно оговорить три возможных случая расположения точки.

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Даны два неравных друг другу отрезка. Построить из них прямоугольный треугольник так, чтобы больший был в нем гипотенузой, а меньший — одним из катетов.

Как известно, существует признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Это значит, что по гипотенузе и катету можно построить только один прямоугольный треугольник, то есть они однозначно определяют треугольник.

По катету и гипотенузе прямоугольный треугольник можно построить как минимум двумя способами.

Способ 1:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам, то есть на два равных угла. Таким образом задачу можно сформулировать так: разделить угол пополам.

Алгоритм построения биссектрисы угла:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

В данной задаче дается некий угол и луч (или прямая). Требуется отложить на данном луче угол, равный данному. Например, на рисунке ниже дан угол A и прямая b. Требуется на прямой b отложить угол, равный углу A.

Угол и прямая

Если дана прямая, а не луч, то вершину нового угла можно выбрать на ней произвольно. Если же дан луч, то вершиной угла считается точка, от которой отложен луч.
Алгоритм построения угла, равного данному, на луче:

Тема: Окружность и круг
7 класс

У вписанного в окружность угла вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами окружности (говорят «пересекают окружность»). Существует теорема о том, что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Дуга, на которую опирается угол, находится между точками пересечения его сторон с окружностью.

Чтобы доказать теорему о равенстве угла половине дуги, на которую он опирается, проведем касательную к окружности в точку вершины угла.

Определение величины вписанного угла

В данном случае вписанным является угол BAC, который опирается на дугу BC. Надо доказать, что ∠BAC = ½◡BC.

Тема: Окружность и круг
7 класс

Если в окружности провести хорду и к окружности провести касательную так, чтобы она касалась ее в точке одного из концов хорды, то можно говорить об углах между касательной и хордой. Угла получается два, и они смежные.

Существует теорема о том, что углы между касательной и хордой равны половинам дуг окружности, заключенных внутри соответствующих углов.

Сравнение углов между касательной и хордой с углами дуг

На рисунке в окружности проведена хорда AB. К точке B окружности проведена касательная CD. Углы между касательной и хордой — это ∠ABC и ∠ABD. Внутри этих углов заключены дуги соответственно ◡AKB и ◡ALB. Теорема утверждает, что ∠ABC = ½◡AKB, а ∠ABD = ½◡ALB.

Подписаться на Окружность