Параллельность

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются прямой c. То есть прямая c является секущей для прямых a и b. При этом образуются две пары накрест лежащих углов. Если в любой из этих пар углы равны, то прямые a и b параллельны. На чертеже обозначена одна пара равных между собой накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых
Дано (условие). Равенство накрест лежащих углов.

Следствие (утверждение; то, что требуется доказать). Параллельность прямых.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180°. На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Примеры углов с соответственно параллельными сторонами

Доказательство, что это действительно так, сводится к следующему.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это значит, что из какой бы точки одной из параллельных прямых не измерялось расстояние до другой прямой, оно всегда будет одинаковым.

Как известно, расстояние между точкой и прямой — это отрезок перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой; концами отрезка являются данная точка и точка пересечения с данной прямой. Расстояние является кратчайшим путем.

Доказать, что все точки прямой, параллельной данной, равноудалены от данной прямой, можно следующим образом.

Пусть дана прямая a и параллельная ей прямая b: a || b. Возьмем на прямой b произвольную точку B и проведем из нее перпендикуляр AB к прямой a: AB ⊥ a.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Существует теорема о том, что прямые параллельны, если при пересечении их секущей накрест лежащие углы оказываются равными. Здесь дано — равные накрест лежащие углы при секущей, следствие — прямые параллельны.

Существует обратная теорема: накрест лежащие углы при секущей равны, если она пересекает параллельные прямые. В данном случае дано — параллельные прямые, следствие — равенство накрест лежащих углов при секущей.

Подписаться на Параллельность