Параллелограмм

Тема: Измерение геометрических величин
9 класс

Площадь параллелограмма равна произведению его одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторону, к которой проведена высота, принято называть основанием. Поэтому теорему формулируют так: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Если обозначить основание параллелограмма буквой a, высоту — буквой h, то площадь выражается такой формулой:

S = ah

Отметим, что эта формула очень похожа на площадь прямоугольника, где она равна произведению сторон. Однако в случае параллелограмма вместо второй стороны используется высота. Причем должна быть взята та высота, которая проведена к стороне, которую берут в качестве множителя.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Одним из признаков ромба является то, что диагонали делят его углы пополам. В виде теоремы этот признак формулируется так:

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то такой параллелограмм является ромбом.

Если доказывать данный признак, то нам дан параллелограмм, одна диагональ которого делит один угол пополам. Требуется доказать, что у такого параллелограмма будут равны все стороны (именно этот факт является определением ромба).

Пусть дан ромб ABCD, его диагональ BD делит угол B пополам: ∠ABD = ∠CBD.

Диагональ ромба делит угол пополам

Тема: Четырехугольник
8 класс

Одним из признаков ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. В виде теоремы данный признак формулируется так:

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, то такой параллелограмм является ромбом.

Доказательство этой теоремы сводится к тому, чтобы доказать, что у такого параллелограмма стороны равны. Именно равенство сторон параллелограмма позволяет заключить, что это ромб.

Таким образом, нам дан параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны. Требуется доказать, что у такого параллелограмма все стороны равны.

Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E и перпендикулярны друг другу.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому кроме свойств параллелограмма, он обладает особыми свойствами:

  • диагонали ромба перпендикулярны друг другу;
  • диагонали ромба делят его углы пополам.

Чтобы доказать эти свойства, рассмотрим ромб ABCD. Так как это ромб, все стороны у него равны: AB = BC = CD = DA. Диагонали ромба — AC и BD — пересекаются в точке E.

Доказательство свойств ромба

Рассмотрим треугольник ABC, образованный двумя сторонами ромба и одной диагональю. Он является равнобедренным, так как у ромба стороны равны: AB = BC.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Одним из признаков прямоугольника является равенство его диагоналей. То есть, если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Чтобы доказать данный признак прямоугольника, рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого диагонали AC и BD равны. Требуется доказать, что в таком случае ABCD — это прямоугольник. Чтобы это доказать, достаточно доказать, что один из углов параллелограмма прямой, т. к. по еще одному признаку прямоугольника им является параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой.

Параллелограмм с равными диагоналями.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Одним из признаков прямоугольника является наличие одного прямого угла в параллелограмме. При этом оказывается, что все остальные углы параллелограмма также прямые. Поэтому такой параллелограмм — прямоугольник.

Можно сформулировать данный признак прямоугольника в виде теоремы:

Если один из углов параллелограмма прямой, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Доказать это можно следующим образом:

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого угол A прямой: ∠A = 90°.

Как известно, одним из свойств параллелограмма является то, что в нем противоположные углы равны между собой. Противоположным для угла A является угол C. Значит, ∠C =∠A = 90°.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Существует теорема о том, что если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Так как параллелограммом по определению является четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны, то значит, надо доказать, что если диагонали четырехугольника делятся пополам, то его противоположные стороны равны и параллельны.

Диагонали четырехугольника могут пересекаться, если этот четырехугольник выпуклый. Значит, нам по условию уже дан выпуклый четырехугольник.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Определение параллелограмма гласит, что это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу.

Однако для определения четырехугольника как параллелограмма достаточно, если противоположные стороны фигуры просто равны. Параллельность следует из этого, что можно доказать.

То есть, если у четырехугольника противоположные стороны равны, то он параллелограмм. Докажем это.

Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого AB = CD и BC = AD. Если это выпуклый четырехугольник, то любая его диагональ делит его на два треугольника. Если это невыпуклый четырехугольник, то на два треугольника он делится только одной диагональю. Другая его так не делит.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Одним из признаков параллелограмма является то, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. То есть, если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то две другие стороны также оказываются равными между собой и параллельными друг другу, т. к. этот факт является определением и свойством параллелограмма.

Таким образом, параллелограмм можно определить лишь по двум сторонам, которые равны и параллельны друг другу.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

Подписаться на Параллелограмм