Перпендикулярность

Тема: Треугольник
8 класс

Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.

Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Доказательство теоремы о пересечении высот треугольника

Тема: Окружность и круг
8 класс

Окружность является описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Такой треугольник называется вписанным в окружность.

Существует теорема о том, что около каждого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Докажем ее.

Тема: Треугольник
8 класс

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.

Примеры пересечения биссектрис треугольника

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180°. На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Примеры углов с соответственно параллельными сторонами

Доказательство, что это действительно так, сводится к следующему.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это значит, что из какой бы точки одной из параллельных прямых не измерялось расстояние до другой прямой, оно всегда будет одинаковым.

Как известно, расстояние между точкой и прямой — это отрезок перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой; концами отрезка являются данная точка и точка пересечения с данной прямой. Расстояние является кратчайшим путем.

Доказать, что все точки прямой, параллельной данной, равноудалены от данной прямой, можно следующим образом.

Пусть дана прямая a и параллельная ей прямая b: a || b. Возьмем на прямой b произвольную точку B и проведем из нее перпендикуляр AB к прямой a: AB ⊥ a.

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Обычно в такой задаче дана окружность и точка. Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.

Если местонахождение точки не оговаривается, то следует отдельно оговорить три возможных случая расположения точки.

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Даны два неравных друг другу отрезка. Построить из них прямоугольный треугольник так, чтобы больший был в нем гипотенузой, а меньший — одним из катетов.

Как известно, существует признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Это значит, что по гипотенузе и катету можно построить только один прямоугольный треугольник, то есть они однозначно определяют треугольник.

По катету и гипотенузе прямоугольный треугольник можно построить как минимум двумя способами.

Способ 1:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Если поиск середины отрезка — это задача на построение, то ее решение сводится к построению срединного перпендикуляра отрезка.

Срединный перпендикуляр отрезка — это прямая, перпендикулярная к отрезку и делящая его на две равные части.

Строится срединный перпендикуляр следующим образом. Рисуются две окружности (или их части не меньше полуокружности) радиусами, равными длине отрезка, и центрами в точках концов отрезков. Эти окружности будут иметь две точки пересечения по разные стороны от отрезка. Через эти точки строится прямая. Эта прямая и есть срединный перпендикуляр отрезка и, кроме того, разбивает его на две равные части, то есть точка пересечения отрезка и срединного перпендикуляра — это искомая середина отрезка.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
7 класс

Срединный перпендикуляр к отрезку — это перпендикулярная к нему прямая, которая проходит через его середину.

Понятно, что далеко не через каждую точку пространства, не лежащую на отрезке, можно провести срединный перпендикуляр. Через любую точку можно провести перпендикуляр и при том только один, но он далеко не обязательно будет срединным, то есть не будет делить отрезок на две равные части.

Особенностью всех точек, лежащих на срединном перпендикуляре является то, что они равноудалены от концов отрезка, к которому проведен данный перпендикуляр.

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
7 класс

Говоря о перпендикуляре имеют в виду, что из какой-либо точки в пространстве проводят перпендикулярную прямую к какой-либо прямой. При этом, понятное дело, точка не должна лежать на прямой, к которой проводится перпендикуляр.

Как известно, из точки, не лежащей на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Однако можно провести бесконечное множество прямых не перпендикулярных к заданной прямой и пересекающих ее.

Рассмотрим рисунок:

Перпендикулярная и наклонная прямые

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
7 класс

Существует такая теорема:

К любой прямой из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр (перпендикулярную ей прямую).

Доказать эту теорему можно следующим образом:

Пусть нам дана некая прямая a и точка B, лежащая вне прямой a.

Прямая a делит плоскость на две полуплоскости, и, понятное дело, точка B находится лишь в одной из них.

Согнем плоскость по прямой a, то есть эта прямая будет линией сгиба. В результате две полуплоскости совместятся. Это значит, что точка B совместится с некой точкой C на другой полуплоскости. Ее можно легко найти, проткнув согнутую плоскость в точке B.

Подписаться на Перпендикулярность