Многоугольники

Тема: Четырехугольник
8 класс

Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна друг другу, а другая — нет.

Исходя из определения трапеции и признаков параллелограмма, параллельные стороны трапеции не могут быть равны друг другу. Иначе другая пара сторон также стала бы параллельной и равной друг другу. В таком случае мы имели бы дело с параллелограммом.

Параллельные противоположные стороны трапеции называют ее основаниями. То есть у трапеции два основания. Непараллельные противоположные стороны трапеции называют ее боковыми сторонами.

Основания и боковые стороны трапеции

Тема: Многоугольники
8 класс

Около любого правильного многоугольника можно как описать окружность, так и вписать в него окружность. Это будут две разные окружности. Описанная будет иметь больший радиус, а вписанная меньший. Однако их центры будут совпадать. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

При этом у правильного многоугольника может быть только одна вписанная окружность и только одна описанная.

Тема: Многоугольники
8 класс

Выпуклый прямоугольник является правильным, если все его стороны равны между собой и все его углы равны между собой. Многоугольник считается описанным около окружности тогда, когда все его стороны являются касательными к этой окружности.

Существует теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Согласно ей любой правильный многоугольник можно описать около окружности, причем только одной.

Описанные правильные многоугольники

Докажем эту теорему. Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF. Проведем в нем биссектрисы углов A и B. Они не могут быть параллельными, поэтому пересекутся в некой точке. Назовем ее O.

Тема: Многоугольники
8 класс

Правильные многоугольники — это выпуклые многоугольники, у которых все стороны равны, а также равны все его углы. Количество сторон и соответственно количество углов может быть любым (но больше двух). Так равносторонний треугольник и квадрат являются правильными многоугольниками. Далее идут пятиугольник, шестиугольник и т. д.

Правильные многоугольники

Существует теорема о том, что любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, причем только в одну.

Вписанные правильные многоугольники

Тема: Четырехугольник
8 класс

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Вписанные и невписанные четырехугольники
Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180°. Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Описанный около окружности четырехугольник касается ее всеми своими сторонами. То есть каждая из четырех сторон четырехугольника является касательной к данной окружности. Такая окружности называется вписанной в четырехугольник.

Не каждый четырехугольник можно описать около окружности.

Описанные и неописанные четырехугольники
Описанные четырехугольники обладают таким свойством: суммы их противоположных сторон равны. Это значит, что если, около данной окружности описать четырехугольник, например, ABCD, то окажется, что сумма его противоположных сторон AB + СD равна сумме другой пары его противоположных сторон BC + DA.

Тема: Четырехугольник
8 класс

Четырехугольник — это многоугольник, у которого четыре стороны и, соответственно, четыре вершины.

Как и все многоугольники, четырехугольник представляет собой замкнутую простую ломаную. Такая ломаная ограничивает внутреннюю область образованного ей многоугольника. Как известно, ломаная — это фигура, состоящая из последовательно соединенных своими концами отрезков, при этом соседние (смежные) отрезки не лежат на одной прямой. Ломаная замкнута, когда ее первый и последний отрезки соединены между собой свободными концами. Ломаная простая, если никакой ее отрезок не имеет общих точек с несмежным отрезком (т.е не пересекает его).

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная. Разберем следующие вопросы:

  • Что значит ломаная?
  • Что значит простая ломаная?
  • Что значит замкнутая ломаная?

Ломаная — это фигура, состоящая из отрезков, при этом смежные (соседние) отрезки не лежат на одной прямой. У любой пары смежных отрезков ломаной всегда есть общий конец.

У простой ломаной несмежные отрезки общих точек не имеют. По сути это значит, что никакой отрезок простой ломаной не пересекает другой отрезок. Исключение — это точки соединения смежных отрезков.

Подписаться на Многоугольники