Треугольники

Тема: Треугольник
8 класс

Существует множество случаев подобия треугольников. В курсе геометрии рассматриваются и доказываются лишь некоторые из них. Ниже перечислен более обширный список признаков подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если три угла одного соответственно равны трем углам другого. Действительно, легко доказывается, что соответственные стороны таких треугольников пропорциональны.

Однако для подобия треугольников достаточно двух равны углов, так как если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то равны и их третьи углы (ведь сумма углов треугольника всегда равна 180º).

Тема: Начальные понятия и теоремы геометрии
8 класс

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются прямой c. То есть прямая c является секущей для прямых a и b. При этом образуются две пары накрест лежащих углов. Если в любой из этих пар углы равны, то прямые a и b параллельны. На чертеже обозначена одна пара равных между собой накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых
Дано (условие). Равенство накрест лежащих углов.

Следствие (утверждение; то, что требуется доказать). Параллельность прямых.

Тема: Измерение геометрических величин
9 класс

Площадь треугольника равна половине от произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторону, к которой проведена высота, принято в таком случае называть основанием. Таким образом, можно сказать, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Если обозначить длину стороны-основания треугольника как a, высоту — как h, то получится формула площади треугольника:

S = ½ ah

Чтобы доказать эту формулу, следует рассмотреть все варианты расположения высоты в треугольнике. Их всего три. Это:

Тема: Треугольник
8 класс

Доказательство первого признака подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.

Первый признак подобия треугольников

Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что DF = kAC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам.

Тема: Треугольник
8 класс

У подобных фигур могут быть разные размеры, но всегда одинаковая форма. В случае треугольников они являются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. То есть все три отношения соответствующих сторон треугольника равны одному и тому же числу.

Например, если даны треугольники ABC и DEF, у которых AB/DE = BC/EF = CA/FD, то эти треугольники подобны.

Число, которому равно отношение сторон, называется коэффициентом подобия (k). Таким образом, можно записать отношения сторон подобных треугольников так:

AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD

Подобие треугольников обозначается так: ∆ABC ~ ∆DEF.

Тема: Треугольник
8 класс

Понятие синуса, также как и косинуса, применимо к острым углам прямоугольных треугольников. Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который противолежит этому углу, к гипотенузе. (В случае с косинусом это было отношение прилежащего катета к гипотенузе.) Синус обозначается словом sin. В общем случае говорят о синусе угла альфа, или просто синусе альфа; обозначается как sin α.

Поскольку катет всегда меньше гипотенузы, то синус острого угла, также как и косинус, всегда меньше единицы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

AB — гипотенуза, AC и BC — катеты

Тема: Треугольник
8 класс

Понятие косинуса применимо к острым углам прямоугольного треугольника. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который прилежит к данному углу, к гипотенузе. Например, если дан треугольник ABC, где угол C прямой, а AB — гипотенуза, то косинусом угла A будет отношение AC к AB, косинусом угла B будет отношение BC к AB. Косинус обозначается словом cos. Таким образом, cos A = AC/AB, cos B = BC/AB. В общем случае говорят о косинусе угла α; обозначается как cos α.

Поскольку гипотенуза всегда больше любого катета прямоугольного треугольника, то косинус острого угла всегда меньше единицы.

Тема: Треугольник
8 класс

Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.

Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Доказательство теоремы о пересечении высот треугольника

Тема: Треугольник
8 класс

Существует теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1, где 2 соответствует отрезку от вершины, из которой проведена медиана, до точки пересечения медиан, а 1 соответствует отрезку от точки пересечения медиан до середины стороны, к которой проведена медиана.

Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим треугольник ABC с медианами AE, BF, CD. То есть точки D, E, F делят пополам стороны AB, BC, CA соответственно.
Нам не известно, пересекаются ли все медианы в одной точке (это еще требуется доказать). Однако любые две медианы пересекутся в одной точке, так как не могут быть параллельны. Пусть медианы AE и BF пересекаются в точке O.

Тема: Окружность и круг
8 класс

Окружность является описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Такой треугольник называется вписанным в окружность.

Существует теорема о том, что около каждого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Докажем ее.

Тема: Окружность и круг
8 класс

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая касается всех сторон треугольника. То есть стороны треугольника являются касательными к окружности.

Существует теорема о том, что в каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Доказательство данной теоремы сводится к нижеследующему.

Как известно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Перпендикуляры, проведенные из этой точки к сторонам треугольника, равны. (Это следует из равенства треугольников, образованных биссектрисой и двумя перпендикулярами.)

Получается, что на трех сторонах треугольника есть по точке, удаленной от точки пересечения биссектрис, на одно и то же расстояние.

Тема: Треугольник
8 класс

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.

Примеры пересечения биссектрис треугольника

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Даны два неравных друг другу отрезка. Построить из них прямоугольный треугольник так, чтобы больший был в нем гипотенузой, а меньший — одним из катетов.

Как известно, существует признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Это значит, что по гипотенузе и катету можно построить только один прямоугольный треугольник, то есть они однозначно определяют треугольник.

По катету и гипотенузе прямоугольный треугольник можно построить как минимум двумя способами.

Способ 1:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам, то есть на два равных угла. Таким образом задачу можно сформулировать так: разделить угол пополам.

Алгоритм построения биссектрисы угла:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

В данной задаче дается некий угол и луч (или прямая). Требуется отложить на данном луче угол, равный данному. Например, на рисунке ниже дан угол A и прямая b. Требуется на прямой b отложить угол, равный углу A.

Угол и прямая

Если дана прямая, а не луч, то вершину нового угла можно выбрать на ней произвольно. Если же дан луч, то вершиной угла считается точка, от которой отложен луч.
Алгоритм построения угла, равного данному, на луче:

Тема: Построения с помощью циркуля и линейки
7 класс

Даны три отрезка, требуется построить из них треугольник.

Данная задача является задачей на построение, для решения которой требуется циркуль и линейка.

При этом следует помнить, что не из каждых трех отрезков можно построить треугольник. Как известно, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух остальных. Поэтому если один из данных отрезков длиннее, чем два других вместе взятые, то при построении они просто уложатся на первом отрезке, и треугольника не получится.

Алгоритм построения треугольника по трем сторонам сводится к следующему:

Тема: Треугольник
7 класс

В треугольнике между его сторонами и углами существуют определенные соотношения. Если какой-либо угол треугольника больше другого, то напротив его лежит сторона с большей длиной, чем напротив другого. Другими словами, напротив самого большого угла треугольника лежит самая большая сторона, напротив среднего угла — средняя сторона, а напротив самого маленького угла — самая маленькая сторона.

Понятно, что если углы треугольника равны, то и стороны, напротив которых они лежат, равны.

Сформулировать теорему о соотношениях сторон и углов треугольника можно так: в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Однако можно сформулировать обратную ей: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол.

Тема: Треугольник
7 класс

Неравенство треугольника — это теорема в которой утверждается, что в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других.

У треугольника вершины никогда не лежат на одной прямой. Поэтому эту теорему можно сформулировать по-другому: если три точки не лежат на одной прямой, то расстояние между любыми двумя из них меньше, чем сумма остальных двух расстояний.

Если дан треугольник ABC, то, применяя по отношению к нему теорему о неравенстве треугольника, можно записать:

AB < BC + AC, BC < AB + AC, AC < AB + BC

Тема: Треугольник
7 класс

Известны три признака равенства любых треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по двум угла и стороне между ними;
  3. по трем сторонам.

У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу — это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов.

Тема: Треугольник
7 класс

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Почему? На самом деле прийти к такому умозаключению можно несколькими способами.

Во-первых, если знать тот факт, что напротив большего угла всегда лежит большая сторона, и два непрямых угла прямоугольного треугольника острые, то доказательство будет выглядеть совсем просто. Прямой угол равен 90°, и напротив него лежит гипотенуза. Острые углы меньше 90°, значит и лежащие напротив них стороны (катеты) меньше, чем лежащая напротив прямого угла гипотенуза.

Доказательство можно построить по-другому. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. В таком случае его катетами будут отрезки AB и AC, а гипотенузой отрезок BC.

Проведем в нем на луче BC отрезок BD равный катету AB.

Тема: Треугольник
7 класс

В третьем признаке равенства треугольников утверждается их равенство по равным трем сторонам. Поэтому требуется доказать, что если у двух треугольников равные стороны, то эти треугольники равны.

Пусть даны треугольники ABC и KLM. В результате измерений было выяснено, что AB = KL, BC = LM, AC = KM.

Треугольники с равными сторонами

Равны ли эти треугольники?

Совместим два треугольника по их самой длинной стороне так, чтобы получилась симметричная фигура.

Доказательство равенства треугольников

Тема: Треугольник
7 класс

Существует теорема о том, что в равнобедренном треугольнике проведенная к его основанию высота также является биссектрисой и медианой. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Представим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и BC и основанием AC. Проведем в нем высоту BD.

Отметим, следующие факты:

Подписаться на Треугольники