Тригонометрия

Тема: Треугольник
8 класс

Доказательство первого признака подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.

Первый признак подобия треугольников

Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что DF = kAC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам.

Тема: Треугольник
8 класс

У подобных фигур могут быть разные размеры, но всегда одинаковая форма. В случае треугольников они являются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. То есть все три отношения соответствующих сторон треугольника равны одному и тому же числу.

Например, если даны треугольники ABC и DEF, у которых AB/DE = BC/EF = CA/FD, то эти треугольники подобны.

Число, которому равно отношение сторон, называется коэффициентом подобия (k). Таким образом, можно записать отношения сторон подобных треугольников так:

AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD

Подобие треугольников обозначается так: ∆ABC ~ ∆DEF.

Тема: Треугольник
8 класс

Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:

sin2 α + cos2 α = 1

Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.

Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.

Косинусы углов

Выразим катеты треугольника ABC по косинусам углов. Так как cos A = AC/AB, то

AC = AB · cos A

Так как cos B = BC/AB, то

BC = AB · cos B

Тема: Треугольник
8 класс

Понятие синуса, также как и косинуса, применимо к острым углам прямоугольных треугольников. Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который противолежит этому углу, к гипотенузе. (В случае с косинусом это было отношение прилежащего катета к гипотенузе.) Синус обозначается словом sin. В общем случае говорят о синусе угла альфа, или просто синусе альфа; обозначается как sin α.

Поскольку катет всегда меньше гипотенузы, то синус острого угла, также как и косинус, всегда меньше единицы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

AB — гипотенуза, AC и BC — катеты

Тема: Треугольник
8 класс

Понятие косинуса применимо к острым углам прямоугольного треугольника. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который прилежит к данному углу, к гипотенузе. Например, если дан треугольник ABC, где угол C прямой, а AB — гипотенуза, то косинусом угла A будет отношение AC к AB, косинусом угла B будет отношение BC к AB. Косинус обозначается словом cos. Таким образом, cos A = AC/AB, cos B = BC/AB. В общем случае говорят о косинусе угла α; обозначается как cos α.

Поскольку гипотенуза всегда больше любого катета прямоугольного треугольника, то косинус острого угла всегда меньше единицы.

Подписаться на Тригонометрия