Позиционная система счисления

Классическим примером позиционной системы счисления является широко используемая в настоящее время десятичная, которую также называют арабской. В позиционных системах значение цифры зависит от ее позиции, то есть местонахождения в числе. Так в числе 358 цифра 5 имеет значение 50, так как находится в позиции десяток, которые являются вторыми с конца. Другими словами, цифра пять здесь обозначает количество десятков.

300 (три сотни) + 50 (пять десятков) + 8 (восемь единиц) = 158

С другой стороны, в числе 12705 цифра 5 обозначает количество единиц, так как находится в последней позиции.

Десятичная не единственная позиционная система счисления. Позиционными являются подавляющее большинство. Так в вычислительной технике широкое применение нашли двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Их отличие от десятичной заключается лишь в количестве используемых цифр. Если в десятичной их десять (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), то в двоичной только две – 0 и 1. В шестнадцатеричной используется шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. При счете, когда количество единиц достигает пятнадцати, что обозначается цифрой F, появляется новый разряд, а младший (т. е. последний) обнуляется. Здесь действуют те же правила, что и в десятичной системе. Таким образом число 10 в шестнадцатеричной системе по количеству единиц соответствует числу 16 в десятичной:

1016 = 1610

В противоположность позиционным системам счисления существуют непозиционные. Классическим примером таковой является римская, когда значение цифры не зависит от ее позиции в числе. Хотя положение цифры влияет на интерпретацию самого числа. Сравните

VIII и IV

Цифра V обозначает пять единиц. В числе VIII к этому числу добавляется еще три единицы, которые обозначаются цифрой I. В числе IV из пяти вычитается одна единица, так как она стоит слева от пяти, а не справа. Однако в любом случае цифра V обозначает 5 единиц, где бы она не стояла, хоть в начале числа, хоть в конце.