Каково основное свойство алгебраической дроби?

Основное свойство дроби формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменяется.

Данное утверждение можно записать так:

a/b = ac/bc, где b ≠ 0 и с ≠ 0.

Данное свойство является следствием того, что если левую и правую части равенства умножить на одно и то же число, то равенство все равно останется верным. Пусть, например, a/b = k. Избавимся от деления:

a = bk

Теперь умножим обе части на c:

ac = bkc

Выразим k:

k = ac/bc

Но до этого мы приняли, что a/b = k. Значит ac/bc = k также. Основное свойство дроби доказано.

Основное свойство дроби используется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю.

1 Comment

Перекос математического аппарата

Из учебников начальной школы известно правило о непременно последовательном (слева направо в порядке появления) выполнении действий в записях вида
2:3х5=(1х2/3)х5=10/3.
Применение переместительного закона умножения, однако, позволяет (при последовательном выполнении действий) получить второй (верный) результат путём преобразования (тождественного) исходной записи к виду
2:5х3=(1х2/5)х3=6/5.
Приравнивая правые части, получаем неверное равенство
10/3=6/5
и теряем тождественность преобразований (поскольку понятия о знаменателе в начальных классах не вводится. Но отсутствие понятия не означает отсутствия самого знаменателя. Данное упущение приводит к появлению неверных навыков, то есть, к перекосу математического аппарата и, в дальнейшем, к возникновению тяжёлых последствий, о которых сказано ниже).
Именно приведенное (и доказанное) в комментируемой статье основное свойство дроби показывает (дополнительно), что указанное выше правило не может применяться.
В Большой Советской энциклопедии в статье "Деление" дано прямое определение деления дроби на дробь вида
(a/b):(c/d)=ad/bc (запись ad/bc является необходимой и достаточной, а результат - единственным),
которое (при решении обратной задачи) даёт непременно единственный же (не изменяющийся при перемене сомножителей) результат
ad/bc=da/cb=(a/b):(c/d)=(d/b):(c/a)=(a/b)х(d/c)=(a/c)х(d/b)...и т.д.
То есть, для приведенного вначале случая 2:3х5:
1х2/3х5=2х1/5х3=(1/3):(5/2)=(2/3):(5/1)=(1/3)х(2/5)=(1/5)х(2/3)... = 2/15.
Таким образом, упомянутое правило о последовательном выполнении действий в порядке появления их в выражении является ошибочным и подлежит упразднению применительно к записям со знаменателем, число указанных величин в котором превышает единицу.

Выводы:
-преобразование вида ab/cd=(a/c)х(b/d) является тождественным;
-преобразование вида ab/cd=(aхb/c)хd не является тождественным;
-постановки (и решения) задач вида 2:3х5 следует категорически избегать до введения понятия о знаменателе (отсутствуют препятствия применять в учебниках для начальной школы исключительно записи вида 2х3/5).

Следствие: в федеральном законе № 173-ФЗ "О трудовых пенсиях в РФ" имеется действующая в настоящее время (2018г.) расчётная формула для определения расчётной величины, именуемой как расчётный размер пенсии, РП, размерность которой законом прямо не установлена, а именно:
РП=СКхЗР/ЗПхСЗП (размерность ЗР, ЗП и СЗП - рубли, СК - безразмерная).
Подстановка
СК=a, ЗР=b, ЗП=c, СЗП=d
тождественно приводит к преобразованию формулы к виду
РП=ab/cd=ab/dc,
при этом основное свойство дроби, приведенное и доказанное в комментируемой статье, ясно показывает при решении задачи об установлении (проверке) размерности результата вычислений, что размерность расчётного размера пенсии РП единственным образом равна
[РП]=1 х руб./руб. х руб. = 1/руб.
Это означает, что упомянутым действующим положением закона в РФ с 2002г. введена иная (отличная от денежной единицы "рубль") денежная единица "1/руб.", что прямо запрещено статьёй 75 Конституции РФ, а назначаемые с применением этой величины РП, измеряемой незаконными денежными единицами, пенсии являются незаконными. Незаконность назначаемых пенсий влечёт риск возникновения убытков Пенсионного фонда РФ из-за необходимости возмещения вреда неопределённому кругу граждан РФ, причинённого назначением незаконных пенсий.
Такое положение возникло из-за допущения законодателем возможности последовательного выполнения действий в приведенной формуле путём выполнения вначале деления ЗР/ЗП и последующего умножения полученного результата на СК и, затем, на СЗП. Однако, такой порядок, как следует из обсуждаемой статьи, приводит к потере тождественности, и, соответственно, к неправильному результату вычислений.
Устранение неправильности возможно путём введения в текст формулы скобок вида
РП=(СКхЗР/ЗП)хСЗП,
которое приводит к размерности [РП]=руб.
При этом, однако, риск возникновения убытков Пенсионного фонда не устраняется, поскольку факты незаконного назначения пенсий неопределённому кругу граждан уже состоялись.