Вокруг треугольника можно описать окружность

Окружность является описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Такой треугольник называется вписанным в окружность.

Существует теорема о том, что около каждого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Докажем ее.

Пусть дан треугольник, к сторонам которого проведены срединные перпендикуляры. Как известно, срединные перпендикуляры треугольника всегда пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от вершин треугольника. Значит, расстояние от точки пересечения срединных перпендикуляров до любой из вершин треугольника одно и то же, что может послужить радиусом одной окружности. И на этой окружности будут лежать вершины треугольника. Таким образом, она окажется описанной около него.

Чтобы убедиться в вышесказанном, рассмотрим рисунок:

Иллюстрация теоремы о вписанном треугольнике

Здесь дан треугольник ABC. К его сторонам проведены срединные перпендикуляры, которые пересекаются в точке O: OP ⊥ AB, OQ ⊥ BC, OR ⊥ CA.

Рассмотрим треугольники AOP и BOP. Они равны друг другу по двум равным сторонам и углу между ними: OP — общая сторона, углы при вершине P прямые, AP = BP по условию (т. к. OP срединный перпендикуляр, а значит делить AB пополам). Исходя из равенства этих треугольников, мы можем заключить, что AO = BO.

Если аналогично рассмотреть пары треугольников BOQ и COQ, COR и AOR, то можно прийти к выводу, что BO = CO, а CO = AO.

Следовательно, расстояния от точки пересечения срединных перпендикуляров треугольника до вершин этого треугольника одинаковы. Если представить, что это расстояние равно радиусу окружности с центром в точке O, то понятно, что вершины треугольника будут лежать на этой окружности.

Факт того, что около любого треугольника можно описать окружность, можно считать доказанным. Это следует из того, что к сторонам любого треугольника можно провести срединные перпендикуляры, которые всегда будут пересекаться в одной точке.

Теперь следует доказать, что описанная окружность может быть только одна. Если все вершины треугольника лежат на окружности, то это значит, что центр этой окружности находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины треугольника. Но есть только одна точка, удаленная от вершин треугольника на одно и то же расстояние — это точка пересечения его срединных перпендикуляров. Таким образом нет других окружностей (с другими центрами и другими радиусами), которые были бы описаны вокруг треугольника.