Как найти середину отрезка?

Если поиск середины отрезка — это задача на построение, то ее решение сводится к построению срединного перпендикуляра отрезка.

Срединный перпендикуляр отрезка — это прямая, перпендикулярная к отрезку и делящая его на две равные части.

Строится срединный перпендикуляр следующим образом. Рисуются две окружности (или их части не меньше полуокружности) радиусами, равными длине отрезка, и центрами в точках концов отрезков. Эти окружности будут иметь две точки пересечения по разные стороны от отрезка. Через эти точки строится прямая. Эта прямая и есть срединный перпендикуляр отрезка и, кроме того, разбивает его на две равные части, то есть точка пересечения отрезка и срединного перпендикуляра — это искомая середина отрезка.

Чтобы доказать, что построенная прямая есть срединный перпендикуляр, следует учесть, что любая точка срединного перпендикуляра находится на равном расстоянии от концов отрезка. При построении окружностей их точка пересечения с какой-либо стороны находится на равном расстоянии от концов отрезка, так как у окружностей одинаковые радиусы. Вторая точка пересечения также находится на равных расстояниях от концов отрезка. Прямая, проведенная между ними, может быть лишь одна, следовательно, она и является срединным перпендикуляром.