Пример решения линейных неравенств

Линейные неравенства — это такие неравенства с переменной, которые имеют вид или преобразуются к примерному виду ax < b (или ax + b < 0), где знак неравенства может быть любым, x — переменная, а a и b — действительные числа, при этом a ≠ 0. Основным признаком линейных неравенств является то, что переменная в них представлена в первой степени (а не в квадрате, например).

Решить линейное неравенство — это значит найти такие значения переменной, при которых данное неравенство является верным. Обычно допустимыми значениями переменных линейных неравенств являются лучи (ограниченные множества решений).

Решение линейных неравенств сводится к преобразованию исходного неравенства к более простому виду (вида x < b), по которому сразу можно определить множество решений заданного неравенства. При преобразованиях руководствуются правилами решения неравенств:

Члены неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую. При этом меняется знак переносимого члена.

Части неравенства можно умножать и делить на одно и то же число. Если это число положительное, то знак неравенства остается прежним. Если число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный.

Пусть дано неравенство 2x – 1,5 > 1. Его решение будет таким:

2x – 1,5 > 1
2x > 1 + 1,5
2x > 2,5
x > 1,25

Здесь мы перенесли –1,5 в правую часть неравенства, поменяв при этом знак, сложили с единицей. После этого разделили на 2 обе части неравенства. В результате получилось простое неравенство x > 1,25 равносильное данному (2x – 1,5 > 1). Из этого неравенства можно заключить, что для того, чтобы оно было верным, x может принимать любые значения больше 1,25. Другими словами областью значения x является луч (1,25; +∞).

Решим еще одно неравенство:

100 – 35x ≤ 200 – 25x
–35x + 25x ≤ 200 – 100
–10x ≤ 100
10x ≥ –100
x ≥ –10

В данном случае в процессе преобразования исходного неравенства обе его части были умножены на –1. При этом знак неравенства поменялся на обратный.

Таким образом, неравенство верно на числовом промежутке [–10; +∞).