Как выделить полный квадрат из трехчлена?

Если мы посмотрим на выражение 0,25x2 + 2xy + y2, то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x2 = (0,5x)2, a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)2, то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x2 + 2xy + 4y2.

Он отличается от того, что нам дан на 3y2 в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x2 + 2xy + y2 = 0,25x2 + 2xy + 4y2 – 3y2

Чтобы не выполнять никакие сложения и вычитания, можно просто прибавить новый одночлен и потом его же вычесть:

0,25x2 + 2xy + y2 = (0,25x2 + 2xy + y2) + 4y2 – 4y2

Перегруппируем:

0,25x2 + 2xy + y2 = (0,25x2 + 2xy + 4y2) + (y2 – 4y2) = (0,25x2 + 2xy + 4y2) – 3y2

Выражение 0,25x2 + 2xy + 4y2 можно представить как квадрат суммы:

0,25x2 + 2xy + y2 = (0,5x + 2y)2 – 3y2

Подобными преобразованиями мы выделили полный квадрат из трехчлена.

[Выражение (0,5x + 2y)2 – 3y2 — это разность квадратов, которая раскладывается на множители:

(0,5x + 2y)2 – 3y2 = (0,5x + 2y + sqrt(3)y)(0,5x + 2y – sqrt(3)y) = …]

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена:

  1. Выразить один одночлен в виде квадрата.
  2. Разделить второй одночлен с двумя переменными на выражение полученное в п.1 и на 2. Получить таким образом частное.
  3. Записать второй одночлен в виде произведения 2 и выражений полученных в п. 1 и 2.
  4. Прибавить и вычесть квадрат выражения, полученного в п. 2.
  5. Использовать формулу квадрата суммы или квадрата разности.