Скорость — векторная величина
Скорость тела можно определить как расстояние, которое это самое тело проходит за единицу времени. В системе СИ измеряется в м/с (метрах в секунду). Однако в физике скорость рассматривают как расстояние, которое тело проходит в определенном направлении за единицу времени. Так как указывается направление, то скорость становится векторной величиной.
Также нередко в физике понятие "скорость" заменяют на "вектор скорости". Однако часто в русском языке под просто "скоростью" понимают как раз векторную величину, а когда направление не важно, то используют "модуль скорости" или "путевая скорость". В английском есть два понятия скорости: velocity — скорость как векторная величина, speed — скорость как скалярная величина, обозначающая быстроту перемещения.
В формулах, чтобы было понятно, что речь идет о векторе скорости, используется стрелочка над буквой (v⃗) или жирный шрифт.
Итак, чтобы описать скорость тела, надо показать насколько оно перемещается за единицу времени и в каком направлении. Так самолету недостаточно задать скорость в 800 км/ч (модуль), жизненно важно знать курс (направление). В прогнозах погоды всегда указывают и силу ветра, и его направление (например, "северо-западный, 5 м/с")
Это касается и графиков зависимости координаты тела от времени, на которых отражается не только скорость тела, но и направление скорости тела. Так, если координата с течением времени увеличивается, то тело движется в положительном направлении. Если координата с течением времени уменьшается, то тело движется в отрицательном направлении. В первом случае скорость будет положительной величиной, во втором отрицательной. Таким образом и отсюда следует, что скорость — векторная величина.
Для прямолинейного равномерного движения координата (x) тела в момент времени t определяется по формуле x = x0 + vt. Здесь x0 — координата тела в момент начала измерения (t0), v — скорость тела, т. е. его перемещение за 1 единицу времени (обычно секунду). Если тело движется в отрицательном направлении оси X, то скорость будет иметь отрицательное значение, и тогда формула примет вид x = x0 - vt.
Ниже в системе координат изображены графики движения трех тел, которые показывают, как с течением времени менялись координаты тел. Тело, чей график изображен зеленым цветом, двигалось в положительном направлении оси X (которая изображена вертикально), так как чем больше секунд проходило, тем координата x тела становилась больше. То же самое можно сказать о движении тела, чей график синий. Оранжевый график показывает, что тело двигалось в отрицательном направлении оси X (по вертикали вниз), так как с каждой последующей секундой движения его координата уменьшалась.
"Синее" тело двигалось быстрее "зеленого", так как его график имеет более крутой подъем, т. е. координата с каждой секундой менялась сильнее. Это можно увидеть и по формулам. У одного тела v = 2 м/с, у другого v = 4 м/с. Векторная скорость "оранжевого" тела равна -1 м/с. Минус говорит, что оно двигалось в противоположном положительному направлению. Модуль же скорости равен 1 м/с.
Минус перед численным значением скорости вовсе не значит, что тело двигается медленнее, чем то, у которого плюс. Так тело, имеющее вектор скорости -10 м/с, движется быстрее, чем тело, у которого скорость равна 9 м/с. Минус отражает лишь то, что тело движется в обратном направлении.
То, что скорость в физике принимают за векторную величину, есть в том числе следствие того, что в зависимости от направления движения изменение координаты тела на графике может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Изменение координаты находится как разность между последующим и предыдущим моментом времени. Если, например, тело в момент времени через 5 с от начала измерения было в точке с координатой 12 м, а через 6 с — в точке с координатой 16 м, то изменение равно 16 - 12 = 4 м (величина положительная). Если же тело сначала было в точке 12 м, а потом 8 м, то 8 - 12 = -4 м (величина отрицательная).
Классический закон сложения скоростей (например, человек идет по движущемуся поезду) обязывает складывать скорости геометрически (по правилу параллелограмма или треугольника), а не просто арифметически.
При геометрическом представлении скорости вектор скорости v⃗ всегда изображается в виде направленного отрезка (стрелки). Длина стрелки графически показывает величину (модуль) скорости: чем быстрее движется тело, тем длиннее стрелка. Направление стрелки точно совпадает с направлением движения тела в данный момент времени. При криволинейном движении вектор скорости в любой точке траектории всегда направлен строго по касательной.
Сложение скоростей (относительность движения)
Когда тело участвует сразу в двух движениях (например, лодка плывет по течению реки или человек идет по вагону поезда), его полная (результирующая) скорость находится как геометрическая сумма векторов.
Чаще всего для этого используют правило параллелограмма: векторы совмещают своими началами, достраивают фигуру до параллелограмма, а результирующий вектор проводят как диагональ из общей начальной точки.
Формула v⃗рез = v⃗1 + v⃗2 является векторным (геометрическим) уравнением, а не привычным арифметическим сложением чисел. Значок стрелочки над буквами полностью меняет смысл знака «плюс».
Пример на схеме выше наглядно иллюстрирует движение лодки: река сносит её вбок, и реальное направление движения (диагональ) оказывается смещенным относительно курса самой лодки.
Разложение вектора на составляющие (проекции)
Чтобы решать физические задачи математически, вектор скорости "раскладывают" на составляющие вдоль осей координат (обычно X и Y). Это превращает геометрическую стрелку в обычные числа, с которыми легко работать.
Если вектор скорости v⃗ направлен под углом α к горизонту (оси X), то его можно представить как сумму двух перпендикулярных векторов-составляющих v⃗x и v⃗y.
Связь между модулем общего вектора скорости и его проекциями на оси рассчитывается через тригонометрические функции прямоугольного треугольника:
vx = v ⋅ cos α
vy = v ⋅ sin α
Представьте, что вы пнули футбольный мяч под углом к горизонту. Он одновременно летит и вперед (вдоль земли по оси X), и вверх (в облака по Y). Спроецировав вектор скорости на эти оси, мы получаем две независимые скорости: горизонтальную vx = v ⋅ cos α и вертикальную vy = v ⋅ sin α. Теперь вместо одной сложной задачи мы можем решать две простые: отдельно считать, как высоко взлетит мяч, и отдельно — как далеко он улетит.
Длину (модуль) полного вектора скорости всегда можно вернуть обратно, зная его составляющие, по теореме Пифагора:
v = √vx2 + vy2