Суть данного метода заключается в том, чтобы сложить друг с другом левые части уравнений системы, приравняв к ним сумму правых частей тех же уравнений. Сложение может быть заменено вычитанием. Основная цель подобных действий – это избавиться от одной из переменных, после чего решить полученное уравнение с одной переменной легко.

Рассмотрим пример:
| 3x – y + 2 = 0
| –x + y + 4 = 0

Сложим уравнения системы:
(3x – y + 2) + (–x + y + 4) = 0 + 0
3x – y + 2 – x + y + 4 = 0
2x + 6 = 0

В результате мы получили уравнение с одной переменной, которое просто решить:
x = –6 / 2
x = –3

Подставляя x в любое линейное уравнение системы, получаем y:
–(–3) + y + 4 = 0
y = –7

Таким образом решением предложенной системы линейных уравнений с двумя переменными является точка с координатами (–3; –7).

Рассмотрим другой пример:
| 2x + 6y = 120
| 2x – 2y = 20

Здесь уже надо не складывать левые и правые части уравнений, а вычитать:
(2x + 6y) – (2x – 2y) = 120 – 20
2x + 6y – 2x + 2y = 100
8y = 100
y = 12.5

Находим x:
2x – 2 * 12.5 = 20
2x = 20 + 25
x = 45 / 2
x = 22.5
Ответ: (22.5; 12.5)

Теперь рассмотрим более сложный третий пример, когда ни при сложении, ни при вычитании ни одна из переменных не уничтожается:
| –4.5x – 2y + 12 = 0
| 10x + 3y – 7.5 = 0

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
| 3 * (–4.5x – 2y + 12) = 0 * 2
| 2 * (10x + 3y – 5) = 0 * 2

Тогда получим такую систему линейных уравнений с двумя переменными:
| –13.5x – 6y + 36 = 0
| 20x + 6y – 10 = 0

Как видим, при сложении уравнений переменная y уничтожается и в итоге получается уравнение с одной переменной:
20x – 10 – 13.5x + 36 = 0
6.5x = –26
x = –26 / 6.5
x = –4

Находим y:
–4.5 * (–4) – 2y + 12 = 0
18 – 2y + 12 = 0
–2y = –30
y = 15

Ответ: x = –4, y = 15