Решение системы уравнений методом алгебраического сложения
Суть данного метода заключается в том, чтобы сложить друг с другом левые части уравнений системы, приравняв к ним сумму правых частей тех же уравнений. Сложение может быть заменено вычитанием. Основная цель подобных действий – это избавиться от одной из переменных, после чего решить полученное уравнение с одной переменной легко.
Рассмотрим пример:
Сложим уравнения системы:
(3x – y + 2) + (–x + y + 4) = 0 + 0
3x – y + 2 – x + y + 4 = 0
2x + 6 = 0
В результате мы получили уравнение с одной переменной, которое просто решить:
x = –6 / 2
x = –3
Подставляя x в любое линейное уравнение системы, получаем y:
–(–3) + y + 4 = 0
y = –7
Таким образом решением предложенной системы линейных уравнений с двумя переменными является точка с координатами (–3; –7).
Рассмотрим другой пример:
Здесь уже надо не складывать левые и правые части уравнений, а вычитать:
(2x + 6y) – (2x – 2y) = 120 – 20
2x + 6y – 2x + 2y = 100
8y = 100
y = 12.5
Находим x:
2x – 2 * 12.5 = 20
2x = 20 + 25
x = 45 / 2
x = 22.5
Ответ: (22.5; 12.5)
Теперь рассмотрим более сложный третий пример, когда ни при сложении, ни при вычитании ни одна из переменных не уничтожается:
Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
Тогда получим такую систему линейных уравнений с двумя переменными:
Как видим, при сложении уравнений переменная y уничтожается, и в итоге получается уравнение с одной переменной:
20x – 10 – 13.5x + 36 = 0
6.5x = –26
x = –26 / 6.5
x = –4
Находим y:
–4.5 * (–4) – 2y + 12 = 0
18 – 2y + 12 = 0
–2y = –30
y = 15
Ответ: x = –4, y = 15