Как разложить на множители сумму и разность кубов?

Сумма кубов представляет собой такое выражение:

a³ + b³

Можно ли представить эту сумму в качестве каких-либо множителей?

Вспомним формулу куба суммы:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Перенесем слагаемые с коэффициентом 3 в левую часть, получим:

(a + b)³ – 3a²b – 3ab² = a³ + b³

Преобразуем левую часть тождества:

(a + b)³ – 3a²b – 3ab² = (a + b)(a + b)² – 3ab(a + b) = (a + b) ((a + b)² – 3ab) = (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab) = (a + b)(a² – ab + b²)

Таким образом сумма кубов a³ + b³ была разложена множители a + b и a² – ab + b²:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Выражение a² – ab + b² называется неполным квадратом разности, так как оно отличается от полного лишь отсутствием коэффициента 2.

Поэтому говорят, что сумма кубов двух выражений равно произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Выполнив подобные преобразования для разности кубов, в итоге получим:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Разность кубов двух выражений равно произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.