Свойства натуральных чисел

В конце XIX века итальянским математиком Д. Пеано были сформулированы свойства следования натуральных чисел:

• 1 – первое натуральное число, перед ним нет других натуральных чисел. То есть единица не следует ни за каким другим натуральным числом.
• За каждым натуральным числом следует другое натуральное число. Причем только одно. Из этого следует, что каждое натуральное число, кроме 1, следует за другим.
• Множество натуральных чисел, начинающееся с 1, после которой друг за другом следуют натуральные числа, содержит все натуральные числа. При этом наибольшего натурального числа не существует, т. е. множество бесконечно.

Из этих свойств выводятся другие свойства натуральных чисел и операций над ними:

• При умножении и сложении натуральных чисел в результате получается натуральное число.
• Сложение и умножение натуральных чисел подчиняются законам перестановочности и сочетательности. Умножение, кроме того, подчиняется распределительному закону a(b + c) = ab + ac.
• Если в последовательности натуральных чисел число a встречается раньше чем b, то определяется отношение a < b. При этом должно обязательно найтись такое натуральное число c, чтобы a + c = b.
• Если a и b любые натуральные числа, то они могут находиться между собой в одном из трех соотношений – либо a = b, либо a < b, либо b < a.
• Если a < b и b < c, то a < c.
• Если даны три натуральных числа a, b, c и a < b, то будут выполняться следующие неравенства: a + c < b + c и ac < bc.
• Если даны три натуральных числа a < b < c, то выполняется неравенство b – a < c – a.

Натуральные числа с древних времен используются человеком для подсчета предметов. Именно поэтому их называют натуральными, т. е. природными (nature) или естественными числами.

В рамках школьной программы при изучении темы натуральных чисел к ним не относят ноль. Этот факт четко оговаривается. Однако иногда, когда под натуральными числами понимают не инструмент подсчета предметов, а способ обозначения их количества, ноль сюда относят. Ведь количество объектов может быть равным нулю.

Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Множество с нулем N₀ или Z₀.