Свойство ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому кроме свойств параллелограмма, он обладает особыми свойствами:

• диагонали ромба перпендикулярны друг другу;
• диагонали ромба делят его углы пополам.

Чтобы доказать эти свойства, рассмотрим ромб ABCD. Так как это ромб, все стороны у него равны: AB = BC = CD = DA. Диагонали ромба — AC и BD — пересекаются в точке E.

Рассмотрим треугольник ABC, образованный двумя сторонами ромба и одной диагональю. Он является равнобедренным, так как у ромба стороны равны: AB = BC.

Одним из свойств параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Так как ромб — это параллелограмм, то он обладает таким свойством. Значит, в равнобедренном треугольнике ABC отрезок BE является медианой, проведенной к основанию AC (AE = EC).

В равнобедренных треугольниках медианы, проведенные к основанию, также являются высотами и биссектрисами. То есть в треугольнике ABC отрезок BE перпендикулярен AC и делит угол B пополам (является биссектрисой).

Но BE лежит на диагонали BD, и значит, BD ⊥ AC. Следовательно, доказано, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

Поскольку BE (или BD) является биссектрисой угла B, то значит, доказано, что диагональ делит один угол ромба пополам.

Если рассмотреть другие треугольники (BCD, CDA, DAB), то аналогично предыдущему можно доказать, что отрезки половинок диагоналей в них являются биссектрисами углов ромба.

Таким образом, в ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и каждая делит противоположные углы ромба пополам.