Правило умножения суммы на сумму

Допустим, требуется умножить сумму a + b на сумму c + d. Представим сумму c + d как некое число m, тогда получим умножение многочлена на одночлен, которое выполняется по правилу распределительного закона: нужно умножить каждый член многочлена на одночлен, а полученные произведения сложить.

(a + b)m = am + bm

Теперь вернем вместо m сумму c + d:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

Получилась сумма произведений одночлена на многочлен. Выполним умножение:

a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Таким образом получилось, что для получения произведения двух многочленов надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Общий алгоритм умножения можно свести к следующему: первый член первого многочлена умножить на все члены второго многочлена, потом второй член первого умножить на все члены второго и так далее в зависимости от количества членов первого многочлена. После выполнения умножений все полученные произведения надо сложить. А также привести многочлен к стандартному виду.

Пример:

(2ab + 4c – d²)(a + 3b) = 2ab * a + 2ab * 3b + 4c * a + 4c * 3b – d² * a – d² * 3b = 2a²b + 6ab² + 4ca + 12cb – d²a – 3d²b