Точки параллельной прямой равноудалены

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это значит, что из какой бы точки одной из параллельных прямых не измерялось расстояние до другой прямой, оно всегда будет одинаковым.

Как известно, расстояние между точкой и прямой — это отрезок перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой; концами отрезка являются данная точка и точка пересечения с данной прямой. Расстояние является кратчайшим путем.

Доказать, что все точки прямой, параллельной данной, равноудалены от данной прямой, можно следующим образом.

Пусть дана прямая a и параллельная ей прямая b: a || b. Возьмем на прямой b произвольную точку B и проведем из нее перпендикуляр AB к прямой a: AB ⊥ a.

Известно, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она также перпендикулярна к другой. Поэтому, так как a || b и AB ⊥ a, следовательно, AB ⊥ b.

Возьмем на прямой b вторую произвольную точку B₁. Также проведем через нее перпендикуляр к прямой a. Точку пересечения с прямой a обозначим как A₁. Таким образом получим отрезок A₁B₁, который перпендикулярен обоим параллельным прямым: A₁B₁ ⊥ a и A₁B₁ ⊥ b.

Равны ли между собой отрезки AB и A₁B₁? Если они равны, значит факт того, что все точки одной параллельной прямой равноудалены от другой, будет доказан.

Рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. В нем все углы прямые, значит это прямоугольник. Как известно, у прямоугольников противоположные стороны равны. В данном случае AB и A₁B₁ — это противоположные стороны прямоугольника, а значит они равны.

Таким образом, равноудаленность точек считается доказанной. В данном случае все точки одной прямой находятся на расстоянии AB от другой.