Если один угол прямой, то это прямоугольник

Одним из признаков прямоугольника является наличие одного прямого угла в параллелограмме. При этом оказывается, что все остальные углы параллелограмма также прямые. Поэтому такой параллелограмм — прямоугольник.

Можно сформулировать данный признак прямоугольника в виде теоремы:

Если один из углов параллелограмма прямой, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Доказать это можно следующим образом:

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого угол A прямой: ∠A = 90°.

Как известно, одним из свойств параллелограмма является то, что в нем противоположные углы равны между собой. Противоположным для угла A является угол C. Значит, ∠C =∠A = 90°.

Как известно, сумма углов любого выпуклого четырехугольник (а параллелограмм им является) равна 360°. Это следует из формулы суммы углов для выпуклых многоугольников: 180° * (n - 2), где n — количество сторон. В свою очередь данная формула доказывается путем проведения диагоналей из одной вершины выпуклого многоугольника к остальным вершинам. Эти диагонали разбивают многоугольник на n - 2 треугольников. А как известно, сумма углов любого треугольника равна 180°.

Таким образом, так как сумма углов параллелограмма равна 360°, а два угла уже известны, и равны по 90°, то на два остальных угла приходится 180°:

∠B + ∠D = 360° – (∠C +∠A) = 360° – (90° + 90°) = 180°.

Углы B и D являются второй парой противоположных углов параллелограмма, а значит, равны друг другу: ∠B = ∠D. При этом их сумма равна 180°. Следовательно, каждый из этих углов равен половине от 180°. Эта половина будет равна 90°. Таким образом, ∠B = ∠D = 90°.

В результате доказано, что ∠A =∠B = ∠C =∠D = 90°. То есть, если в параллелограмме один угол прямой, то все остальные углы равны ему. А параллелограмм, у которого все углы прямые, - это прямоугольник.