Функция выпукла вниз или вверх

Если взять две такие функции как 1) y = √x и 2) y = x² при x ≥ 0, то описание их свойств совпадет, несмотря на то, что их графики отличаются. Вот их графики:

Обе функции имеют одну и ту же область определения [0; +∞], обе возрастающие (с увеличением x увеличивается и y), непрерывные и др.

Если не видеть графики этих функций, то получается, что они одинаковы. Однако это не так. Поэтому математики ввели дополнительную характеристику функций — их выпуклость.

Если посмотреть на график функции f(x) = √x, то видно, что он как бы выгнут вверх и влево. А вот график f(x) = x2 при x ≥ 0 имеет выпуклость вниз и вправо. Однако достаточно будет рассмотреть лишь одну ось. Берут вертикальную и говорят, выпукла ли функция вниз или вверх.

Характеристика вида «как бы выгнут» ни о чем не говорит. Должна быть точная математическая определенность, что именно подразумевается под выпуклостью функции. Выпуклость графика определяют следующим образом. Через две любые точки графика функции проводят прямую. Если участок графика между этими точками оказывается выше проведенной прямой, то говорят, что функция выпукла вверх. Если же часть графика между точками оказывается ниже проведенной через них прямой, то функция выпукла вниз.

Так функция y = √x выпукла вверх. Между какими бы точками мы не проводили прямые, части графика всегда оказываются выше этих прямых:

Функция y = x² выпукла вниз, т. к. части графика всегда оказываются ниже проведенных прямых:

Таким образом, при описании свойств функций желательно указывать ее выпуклость.