Прямоугольник - это параллелограмм с равными диагоналями

Одним из признаков прямоугольника является равенство его диагоналей. То есть, если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Чтобы доказать данный признак прямоугольника, рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого диагонали AC и BD равны. Требуется доказать, что в таком случае ABCD — это прямоугольник. Чтобы это доказать, достаточно доказать, что один из углов параллелограмма прямой, т. к. по еще одному признаку прямоугольника им является параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой.

Рассмотрим в параллелограмме треугольники ABD и ACD. У них стороны BD и AC равны, т. к. это диагонали, которые по условию равны. Стороны AB и CD равны как противоположные параллелограмма. А сторона AD общая. Таким образом, ∆ABD = ∆ACD по трем сторонам.

Углу A треугольника ABD соответствует угол D треугольника ACD. Из доказанного равенства треугольников следует, что эти углы равны между собой: ∠A =∠D.

В параллелограмме сумма соседних углов всегда равна 180°. Это следует из того, что соседние углы параллелограмма являются односторонними углами между секущей и параллельными прямыми. Так, в данном случае, AB || CD и AD — секущая, следовательно, ∠A +∠D = 180°.

Если угол A равен углу D, а в сумме они составляют 180°, то каждый из этих углов будет по 90°. Таким образом, мы определили даже не один, а два прямых угла в параллелограмме. Из этого следует, что он является прямоугольником. Теорема о том, что если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником, доказана.

Можно сформулировать и обратную теорему: в прямоугольнике диагонали равны. То есть здесь дан прямоугольник, а требуется доказать, что его диагонали равны.

И в этом случае можно ограничиться рассмотрением треугольников ABD и ACD. Поскольку по условию нам уже дан прямоугольник, то угол A равен углу D по условию. Сторона AD общая, а стороны AB и CD равны как противоположные параллелограмма (или прямоугольника). Треугольники ABD и ACD оказываются равными по двум сторонам или углу между ними или по двум катетам прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны AC и BD равны. А они то и есть диагонали данного прямоугольника ABCD. Таким образом доказано, что если дан прямоугольник, то его диагонали будут равны друг другу.