Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.

Квадратичная функция имеет вид: y = ax² + bx + c.

Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:

Однако формулу координаты y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y.

Например, если дана функция y = 2x² – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:

x = –(–4 / (2 × 2)) = 1

Координату же y вычислим, подставив найденный x в саму функцию:

y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3

Таким образом, вершина графика функции y = 2x² – 4x + 5 находится в точке с координатами (1; 3).

В остальном парабола квадратичной функции вида y = ax² + bx + c такая же как функции вида y = ax². Отличие лишь в сдвиге вершины по сравнению с функцией y = ax². Так в приведенном выше примере (y = 2x² – 4x + 5) парабола будет по форме и направлению ветвей такой же, как для функции y = 2x². Разница лишь в координатах вершин парабол.

Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата. Как известно функции вида y = f(x + l) + m отличаются от функций y = f(x) сдвигом из графиков по оси x на –l и по оси y на m. Именно l в преобразованной квадратичной функции оказывается равным –b/2a, а m = (4ac – b²) / 4a. То есть l и m — это координаты x₀ и y₀ соответственно.

Доказывается это применением метода выделения полного квадрата к квадратному трехчлену общего вида ax² + bx + c. При этом выполняются следующие преобразования:

1. Объединим первые два члена многочлена: y = (ax² + bx) + c
2. Вынесем коэффициент a за скобку, при этом b разделится на a:
3. Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы. Одночлен (b/a)x умножим на 2 и разделим на 2 одновременно. Также прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получим:
   
4. Выделим квадрат суммы:
5. Умножим на a:
6. Приведем к общему знаменателю свободные члены:
7. Поменяем знак:

Таким образом, мы привели функцию y = ax² + bx + c к виду y = a(x + l)² + m, что соответствует функции y = f(x + l) + m, где f(x) = ax². А как строить графики последней известно.