Доказательство ведут от противного.

Предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)² = 2. При этом эта дробь несократима (т. е. все сокращения уже выполнены).

Запишем уравнение так: p² / q² = 2.

Умножим обе части уравнений на q², получим: p² = 2q².

Выражение 2q² в любом случае должно быть четным, т. к. выполняется умножение на 2.

Значит, p² тоже четно.

Но известно, что квадрат нечетного числа дает нечетное число (например, 5² = 25), а квадрат четного – четное (4² = 16). Поэтому p должно иметь четное значение.

Если p четно, то его можно представить как p = 2k. Тогда получим: (2k)² = 2q². Или 4k² = 2q².

Сократим полученное уравнение и получим: 2k² = q².

Поскольку в левой части уравнения результат будет четным (т. к. происходит умножение на 2), то и q должно быть четным, чтобы его квадрат был четным.

Но вспомним,

1. ранее было доказано, что и p четно,
2. изначально предполагалось, что взятая дробь p/q несократима.

Если же и p, и q четные числа, то образованную ими дробь можно сократить на 2. Т. е. приходят к противоречию с условием и на этом основании делают вывод, что нет рациональной дроби, квадрат которой может быть равен 2.