Квадрат суммы нескольких слагаемых
Рассмотрим квадрат трех слагаемых:
(a + b + c)2
Представим его в таком виде:
((a + b) + c)2
Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:
((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
Итак в результате преобразования мы получили:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:
(a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2(a+b)(c+d) + (c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2
В результате была бы получена следующая формула:
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Вообще независимо от того, сколько слагаемых в квадрате суммы, при раскрытии скобок получается сумма квадратов всех слагаемых плюс удвоенные пары произведений этих слагаемых.