Оценить число в неравенствах
Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные. Требуется оценить результат арифметических действий над этими переменными (т. е. получаемые новые числа).
Например, даны два таких исходных двойных неравенства:
- –1 < p < 10;
- 2,5 < q < 3,2.
Требуется оценить числа, которые получаются в результате следующих действий над переменными:
- 0,1 × p,
- 1/q,
- p + q,
- q – p,
- p3.
При оценке числа 0,1p воспользуемся следующими свойством числовых неравенств:
- Если a < b и c > 0, то ac < bc. В данном случае c = 0,1.
- Если a < b и b < c, то a < c. В данном случае b = 0,1p, a = –1 × 0,1, c = 10 × 0,1.
На основе этих свойств мы можем умножить все части исходного двойного неравенства (не меняя знаки сравнения) на 0,1 и таким образом получить оценку для числа 0,1p:
–1 × 0,1 < 0,1p < 10 × 0,1
–0,1 < 0,1p < 1
То есть, число 0,1p лежит в пределах от –0,1 до 1.
При оценке числа 1/q следует воспользоваться свойством числовых неравенств, описывающим дроби:
- Если a < b и оба числа положительны, то 1/a > 1/b.
Отсюда можно заключить, что в исходном неравенстве следует поменять знаки сравнения на обратные:
1 / 2,5 > 1/q > 1/3,2
Запишем неравенство наоборот:
1/3,2 < 1/q < 1/2,5
Выполним действия:
0,3125 < 1/q < 0,4
Для оценки числа p + q используются такое свойство числовых неравенств:
- Если a < b, то a + c < b + c. Пусть в данном случае c = q.
Оба числовых неравенства складываются почленно:
–1 + 2,5 < p + q < 10 + 3,2
1,5 < p+q < 13,2
Число q – p можно представить в виде суммы: –p + q и решить также как выше. Однако по сравнению с предыдущим числом (p + q), здесь p сначала надо умножить на –1. Для выполнения этого действия воспользуемся таким свойством числовых неравенств:
- Если a < b и c < 0, то ac > bc. В данном случае c = –1.
Таким образом, из исходного неравенства получается неравенство противоположного смысла, т. е. меняются знаки на обратные:
–1 × –1 > –1p > –1 × 10
Перевернем неравенство и выполним действия:
–10 < –p < 1
Теперь можно сложить q и –p:
–10 + 2,5 < q – p < 1 + 3,2
–7,5 < q – p < 4,2
Для оценки числа p3 воспользуемся таким свойством:
- Если n — нечетное число, то для любых чисел a и b если a < b, то и an < bn.
(–1)3 < p3 < 103
–1 < p3 < 1000
Если бы p возводился в квадрат или в любую другую четную степень, то таким свойством мы бы воспользоваться без оглядки на абсолютные значения не могли. Так если бы вместо –1 было число –20, то (–20)2 > 102.