Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные. Требуется оценить результат арифметических действий над этими переменными (т. е. получаемые новые числа).

Например, даны два таких исходных двойных неравенства:

• –1 < p < 10;
• 2,5 < q < 3,2.

Требуется оценить числа, которые получаются в результате следующих действий над переменными:

• 0,1 × p,
• 1/q,
• p + q,
• q – p,
• p³.

При оценке числа 0,1p воспользуемся следующими свойством числовых неравенств:

• Если a < b и c > 0, то ac < bc. В данном случае c = 0,1.
• Если a < b и b < c, то a < c. В данном случае b = 0,1p, a = –1 × 0,1, c = 10 × 0,1.

На основе этих свойств мы можем умножить все части исходного двойного неравенства (не меняя знаки сравнения) на 0,1 и таким образом получить оценку для числа 0,1p:

–1 × 0,1 < 0,1p < 10 × 0,1
–0,1 < 0,1p < 1

То есть, число 0,1p лежит в пределах от –0,1 до 1.

При оценке числа 1/q следует воспользоваться свойством числовых неравенств, описывающим дроби:

• Если a < b и оба числа положительны, то 1/a > 1/b.

Отсюда можно заключить, что в исходном неравенстве следует поменять знаки сравнения на обратные:

1 / 2,5 > 1/q > 1/3,2

Запишем неравенство наоборот:

1/3,2 < 1/q < 1/2,5

Выполним действия:

0,3125 < 1/q < 0,4

Для оценки числа p + q используются такое свойство числовых неравенств:

• Если a < b, то a + c < b + c. Пусть в данном случае c = q.

Оба числовых неравенства складываются почленно:

–1 + 2,5 < p + q < 10 + 3,2
1,5 < p+q < 13,2

Число q – p можно представить в виде суммы: –p + q и решить также как выше. Однако по сравнению с предыдущим числом (p + q), здесь p сначала надо умножить на –1. Для выполнения этого действия воспользуемся таким свойством числовых неравенств:

• Если a < b и c < 0, то ac > bc. В данном случае c = –1.

Таким образом, из исходного неравенства получается неравенство противоположного смысла, т. е. меняются знаки на обратные:

–1 × –1 > –1p > –1 × 10

Перевернем неравенство и выполним действия:

–10 < –p < 1

Теперь можно сложить q и –p:

–10 + 2,5 < q – p < 1 + 3,2
–7,5 < q – p < 4,2

Для оценки числа p³ воспользуемся таким свойством:

• Если n — нечетное число, то для любых чисел a и b если a < b, то и aⁿ < bⁿ.

(–1)³ < p³ < 10³
–1 < p³ < 1000

Если бы p возводился в квадрат или в любую другую четную степень, то таким свойством мы бы воспользоваться без оглядки на абсолютные значения не могли. Так если бы вместо –1 было число –20, то (–20)² > 10².