Оценить число в неравенствах
Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные. Требуется оценить результат арифметических действий над этими переменными (т. е. получаемые новые числа).
Например, даны два таких исходных двойных неравенства:
–1 < p < 10
и 2,5 < q < 3,2
Требуется оценить числа, которые получаются в результате следующих действий над переменными:
- 0,1 × p,
- 1/q,
- p + q,
- q – p,
- p3.
При оценке числа 0,1p
воспользуемся следующими свойством числовых неравенств:
- Если
a < b
иc > 0
, тоac < bc
. В данном случаеc = 0,1
. - Если
a < b
иb < c
, тоa < c
. В данном случаеb = 0,1p
,a = –1 × 0,1
,c = 10 × 0,1
.
На основе этих свойств мы можем умножить все части исходного двойного неравенства (не меняя знаки сравнения) на 0,1 и таким образом получить оценку для числа 0,1p
:
–1 × 0,1 < 0,1p < 10 × 0,1
–0,1 < 0,1p < 1
То есть, число 0,1p
лежит в пределах от –0,1 до 1.
При оценке числа 1/q
следует воспользоваться свойством числовых неравенств, описывающим дроби:
- Если
a < b
и оба числа положительны, то1/a > 1/b
.
Отсюда можно заключить, что в исходном неравенстве следует поменять знаки сравнения на обратные:
1 / 2,5 > 1/q > 1/3,2
Запишем неравенство наоборот:
1/3,2 < 1/q < 1/2,5
Выполним действия:
0,3125 < 1/q < 0,4
Для оценки числа p + q
используются такое свойство числовых неравенств:
- Если
a < b
, тоa + c < b + c
. Пусть в данном случаеc = q
.
Оба числовых неравенства складываются почленно:
–1 + 2,5 < p + q < 10 + 3,2
1,5 < p+q < 13,2
Число q – p
можно представить в виде суммы: –p + q
и решить также как выше. Однако по сравнению с предыдущим числом (p + q)
, здесь p сначала надо умножить на –1. Для выполнения этого действия воспользуемся таким свойством числовых неравенств:
- Если
a < b
иc < 0
, тоac > bc
. В данном случаеc = –1
.
Таким образом, из исходного неравенства получается неравенство противоположного смысла, т. е. меняются знаки на обратные:
–1 × –1 > –1p > –1 × 10
Перевернем неравенство и выполним действия:
–10 < –p < 1
Теперь можно сложить q и –p:
–10 + 2,5 < q – p < 1 + 3,2
–7,5 < q – p < 4,2
Для оценки числа p3
воспользуемся таким свойством:
- Если n — нечетное число, то для любых чисел a и b если
a < b
, то иan < bn
.
(–1)3 < p3 < 103
–1 < p3 < 1000
Если бы p возводился в квадрат или в любую другую четную степень, то таким свойством мы бы воспользоваться без оглядки на абсолютные значения не могли. Так если бы вместо –1 было число –20, то (–20)2 > 102.