Чему равен угол между касательной и хордой?

Если в окружности провести хорду и к окружности провести касательную так, чтобы она касалась ее в точке одного из концов хорды, то можно говорить об углах между касательной и хордой. Угла получается два, и они смежные.

Существует теорема о том, что углы между касательной и хордой равны половинам дуг окружности, заключенных внутри соответствующих углов.

На рисунке в окружности проведена хорда AB. К точке B окружности проведена касательная CD. Углы между касательной и хордой — это ∠ABC и ∠ABD. Внутри этих углов заключены дуги соответственно ◡AKB и ◡ALB. Теорема утверждает, что ∠ABC = ½◡AKB, а ∠ABD = ½◡ALB.

Как известно, дуга окружности равна углу между двумя радиусами окружности, проведенными к ее концам. То есть ◡AKB = ∠AOB (с той стороны, где находится точка K), а ◡ALB = ∠AOB (с той стороны, где находится точка L).

Поскольку полная окружность составляет 360°, мы можем записать, чтобы не путаться в разных углах AOB, так: ◡AKB = ∠AOB, ◡ALB = 360° – ∠AOB.
Учитывая данные рассуждения, теорема сводится к доказательству того, что
∠ABC = ½∠AOB
∠ABD = ½ (360° – ∠AOB)

Углы OBC и OBD прямые, так как радиус окружности, проведенный к касательной, перпендикулярен ей. Отталкиваясь от этих прямых углов, можно заключить, что
∠ABC = ∠OBC – ∠ABO = 90° – ∠ABO
∠ABD = ∠OBD + ∠ABO = 90° + ∠ABO

Итак, у нас получилось, что искомые углы (∠ABC и ∠ABD) выражены через ∠ABO, а надо их выразить через ∠AOB. Однако ∠ABO и ∠AOB связаны между собой, так как являются углами равнобедренного треугольника ABO с основанием AB. Как известно, углы при основании равны, а сумма углов треугольников равна 180. Значит,
∠ABO = (180 – ∠AOB)/2 = ½(180 – ∠AOB) = 90 – ½∠AOB

Подставим полученное выражение угла ABO в выражение, которому равен угол ABC:
∠ABC = 90 – ∠ABO = 90 – (90 – ½∠AOB) = ½∠AOB

Мы получили одно из выражений, которое требовалось доказать. То есть один из углов между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной в этом угле.

Теперь также вычислим угол ABD:
∠ABD = 90 + ∠ABO = 90 + (90 – ½∠AOB) = 180 – ½∠AOB = ½ (360 – ∠AOB)

Как видим, здесь также получено выражение, которое требовалось доказать.