Значение отрицательной степени

Возведение числа в положительную целую степень обозначает, что данное число умножается само на себя столько раз, каково значение показателя степени. Например:
4³ = 4 × 4 × 4

Что в таком случае обозначает возведение числа в отрицательную целую степень:
4^–3 = ?

Будем исходить из того, что свойства степеней сохраняются и для отрицательных целых показателей. Значит, например, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Возьмем такое выражение:

4³ × 4^–3

Так как показатели мы можем сложить, то получим:
4^3+(–3) = 4^{3 – 3} = 4⁰

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1:
4⁰ = 1

Однако 4⁰, которое равно 1, - это то же самое, что 4³ × 4^–3. Значит
4³ × 4^–3 = 1

Преобразуем равенство по отношению к отрицательной степени:
4^–3 =

Таким образом, можно сделать вывод, что число, возводимое в целую отрицательную степень, равно единице, деленной на это число, возводимое в положительную степень.

Общая формула записывается так: . При этом a ≠ 0 (нельзя возвести 0 в отрицательную степень).

Иногда бывает необходимо сделать обратные преобразования, т. е. из дроби получить целое число в отрицательной степени, чтобы легче выполнить вычисления:

Можно выполнить преобразования по-другому, представив 2–7 в виде дроби. В таком случае при делении знаменатель делителя окажется в числителе: