Если мы посмотрим на выражение 0,25x² + 2xy + y², то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x² = (0,5x)², a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)², то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x² + 2xy + 4y².

Он отличается от того, что нам дан на 3y² в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x² + 2xy + y² = 0,25x² + 2xy + 4y² – 3y²

Чтобы не выполнять никакие сложения и вычитания, можно просто прибавить новый одночлен и потом его же вычесть:

0,25x² + 2xy + y² = (0,25x² + 2xy + y²) + 4y² – 4y²

Перегруппируем:

0,25x² + 2xy + y² = (0,25x² + 2xy + 4y²) + (y² – 4y²) = (0,25x² + 2xy + 4y²) – 3y²

Выражение 0,25x² + 2xy + 4y² можно представить как квадрат суммы:

0,25x² + 2xy + y² = (0,5x + 2y)² – 3y²

Подобными преобразованиями мы выделили полный квадрат из трехчлена.

[Выражение (0,5x + 2y)² – 3y² — это разность квадратов, которая раскладывается на множители:

(0,5x + 2y)² – 3y² = (0,5x + 2y + sqrt(3)y)(0,5x + 2y – sqrt(3)y) = …]

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена:

1. Выразить один одночлен в виде квадрата.
2. Разделить второй одночлен с двумя переменными на выражение полученное в п.1 и на 2. Получить таким образом частное.
3. Записать второй одночлен в виде произведения 2 и выражений полученных в п. 1 и 2.
4. Прибавить и вычесть квадрат выражения, полученного в п. 2.
5. Использовать формулу квадрата суммы или квадрата разности.