Доказать чему равна площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторону, к которой проведена высота, принято называть основанием. Поэтому теорему формулируют так: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Если обозначить основание параллелограмма буквой a, высоту — буквой h, то площадь выражается такой формулой:

S = ah

Отметим, что эта формула очень похожа на площадь прямоугольника, где она равна произведению сторон. Однако в случае параллелограмма вместо второй стороны используется высота. Причем должна быть взята та высота, которая проведена к стороне, которую берут в качестве множителя.

Доказать теорему о площади параллелограмма можно двумя способами: через площадь треугольника, через площадь прямоугольника. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором угол A — острый, а угол B — тупой. В таком случае, если к стороне AD из угла B провести высоту BH, то она пересечет сторону AD. Если бы высота была проведена из угла C, то она бы пересекла не сторону AD, а ее продолжение за пределами параллелограмма. Кроме того из угла B проведем диагональ.

Проведя диагональ, мы получили треугольник ABD. Его площадь равна половине от произведения его основания на высоту. В данном случае ½ * AD * BH. Доказательство площади треугольника приводится здесь.

Поскольку диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника (∆ABD = ∆CDB по трем сторонам), то его площадь равна удвоенной площади любого из этих треугольников (или сумме их площадей). Таким образом получаем, что площадь параллелограмма равна AD * BH, т. е. произведению основания на высоту.

Второй способ доказательства — через рассмотрение прямоугольника. Проведем к основанию AD две высоты. Одна из них (BH) пересечет само основание, а вторая (СI) — продолжение основания AD за пределы параллелограмма (пересечет прямую, на которой лежит AD).

Рассмотрим треугольники ABH и DCI. Они равны друг другу (например по гипотенузе и углам BAD и CDI). Если мы рассмотрим получившийся прямоугольник HBCI, то увидим, что его площадь равна площади параллелограмма ABCD, т. к., преобразуя первый во второй, у параллелограмма «отняли» площадь ABH, а потом к нему добавили равную площадь DCI.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. В данном случае BH * HI. Но HI мы можем заменить на AD, так как это равные отрезки. Таким образом получаем, что площадь прямоугольника равна BH * AD. Поскольку площади параллелограмма и прямоугольника равны, то это произведение является и площадью параллелограмма.