Как построить биссектрису угла?

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам, то есть на два равных угла. Таким образом задачу можно сформулировать так: разделить угол пополам.

Алгоритм построения биссектрисы угла:

1. Начертить окружность (или ее часть) с центром в вершине угла так, чтобы она пересекла стороны угла.
2. Замерить циркулем расстояние между точками пересечения сторон угла с окружностью.
3. Начертить две окружности (или их части) радиусом, полученным в п. 2, вершины которых находятся в точках пересечения сторон угла с окружностью, полученной в п. 1. Эти две окружности (или их части) должны иметь точку пересечения внутри угла.
4. Провести луч из вершины угла так, чтобы он прошел через точку пересечения окружностей, полученную в п. 3. Этот луч и будет биссектрисой угла.

Доказать, что полученный луч есть биссектриса, можно, рассмотрев два треугольника, одна сторона которых общая — отрезок от вершины угла до точки пересечения окружностей, полученной в п. 3. Вторая пара соответствующих сторон — отрезки от вершины угла до точек пересечения окружности со сторонами угла, полученных в п. 1. Третья пара соответствующих сторон — отрезки от точек пересечения окружности, полученных в п. 1., до точки пересечения окружностей, полученных в п. 3.

Две пары соответствующих отрезков будут равны, так как являются радиусами либо одной окружности, либо двух, но с одинаковым радиусом. Следовательно, треугольники равны по трем сторонам. В равных треугольниках равны и углы, а значит два новых угла при вершине данного по условию задачи угла равны, т. е. построенный луч является биссектрисой.