Доказательства свойств модуля
Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:
|a + b| ≤ |a| + |b|
;|ab| = |a| × |b|
;, a ≠ 0
;|a - b| ≥ |a| - |b|
.
Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b.
Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|
:
Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b
. Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b|
.
Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b|
можно записать как |b – a|
. Выражение же |a| + |b|
равно сумме абсолютных значений a и b, что больше, чем b - a
. Поэтому |a + b| < |a| + |b|
.
Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b|
принимает вид |a - b|
, что также меньше суммы модулей |a| + |b|
.
Если a и b – отрицательные числа, то получим |-a - b|
. Результат этого выражения равен |a + b|
(т. к. |-a - b| = |-(a + b)| = |a + b|
). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b|
, следовательно и |-a - b| = |a| + |b|
.
Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|
:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab|
мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b|
сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.
Доказательство 3) a ≠ 0
:
Если a – положительное число, то |a| = a
и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/a
.
Если a
– отрицательное число, то имеем
Доказательство 4) |a - b| ≥ |a| - |b|
:
Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с самими числами. Поэтому |a - b| = |a| - |b|
, потому что можно не брать модули вообще и тогда с двух сторон получим a - b
.
Если a – положительное число, а b – отрицательное, то выражение |a - b|
примет вид |a + b|
, что больше, чем |a| - |b|
.
Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем |-a - b| = |-(a + b)| = |a + b|
, что больше, чем |a| - |b|
.