В треугольник можно вписать окружность

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая касается всех сторон треугольника. То есть стороны треугольника являются касательными к окружности.

Существует теорема о том, что в каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Доказательство данной теоремы сводится к нижеследующему.

Как известно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Перпендикуляры, проведенные из этой точки к сторонам треугольника, равны. (Это следует из равенства треугольников, образованных биссектрисой и двумя перпендикулярами.)

Получается, что на трех сторонах треугольника есть по точке, удаленной от точки пересечения биссектрис, на одно и то же расстояние.

С другой стороны, все радиусы одной окружности равны. Следовательно, через точку пересечения биссектрис треугольника можно провести окружность радиусом, равным отрезку, который перпендикулярен каждой из сторон.

Стороны треугольника окажутся касательными к такой окружности, т. к. перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.

Однако действительно ли только одну окружность можно вписать в треугольник? Если в треугольник можно вписать еще одну окружность, то ее центр также должен быть равноудален от каждой из сторон. Но единственная точка внутри треугольника, которая находится на одинаковом расстоянии от всех сторон — это точка пересечения биссектрис. Конечно, через эту точку можно провести множество окружностей с разными радиусами. Однако сторон коснется только окружность с радиусом равным перпендикуляру к сторонам. А такая окружность уже была вписана. Поэтому в треугольник можно вписать только одну окружность.