Доказательства свойства биссектрисы угла

Свойство биссектрисы угла заключается в том, что каждая ее точка равноудалена от сторон угла.

Это свойство можно сформулировать в форме обратной теоремы: все точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от его сторон, лежат на его биссектрисе.

Следует вспомнить, что расстояние от точки до прямой — это отрезок, перпендикулярный к данной прямой, проведенный из данной точки.

Итак, в прямой теореме надо доказать, что если из любой точки, лежащей на биссектрисе, провести перпендикуляры к сторонам угла, то эти перпендикуляры будут равны.

Действительно, если рассматривать треугольники, образованные проведенными перпендикулярами, сторонами угла и биссектрисой, то эти треугольники являются прямоугольными. У них одна сторона общая (гипотенуза) и острые углы, которые образует биссектриса, равны друг другу.

Отсюда вытекает равенство прямоугольных треугольников. Но если два треугольника равны, значит у них равны и все стороны. То есть катеты, которые являются перпендикулярами к сторонам угла, равны. Это значит, что расстояния от точки до сторон равны, то есть точка равноудалена. Это и требовалось доказать.

Отметим, что подобное доказательство уместно лишь для угла, меньше развернутого.

В обратной теореме нам дана некая точка внутри угла, которая по условию равноудалена от сторон угла. Надо доказать, что эта точка лежит на биссектрисе.

Если известно, что точка равноудалено от сторон угла, значит перпендикуляры из этой точки на стороны равны. Проведем из этой точки отрезок до вершины угла. Получатся два прямоугольных треугольника. Он равны по общей гипотенузе и равным катетам-перпендикулярам.

Если два прямоугольных треугольника равны, значит равны их соответствующие углы. Углы при вершине рассматриваемого угла, образованные проведенным отрезком от заданной точки до вершины, соответствующие, а значит, равны друг другу. То есть прямая, на которой лежит этот отрезок, является биссектрисой. На этой же прямой лежит и заданная по условию точка, то есть она принадлежит биссектрисе.

Таким образом доказано, что точка равноудаленная от сторон угла лежит на его биссектрисе.