Что такое симметрические многочлены?

Если говорить о симметрическом многочлене от двух переменных, то можно сказать следующее. Если в многочлене поменять местами переменные, то получится тождественное многочлену выражение. Например, многочлены a + b и b + a симметрические, а также xy = yx или x²y + xy² = y²x + yx².

Если говорить вообще, то симметрический многочлен — это такой многочлен, который не изменяется при любых перестановках, входящий в него переменных.

Симметрический многочлен можно записать так:

P(x, y) = P(y, x)

Как можно заметить симметрические многочлены состоят из суммы и произведения.

Существует теорема симметрических многочленов: любой симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических многочленов (x + y и xy).